Question

7．小球a、b用一處于原長的微型輕質彈簧連接，靜止在高度H=1m的平臺上A處，a和b的質量分別為0.09kg  和0.1kg．一顆質量為m₀=0.01kg的子彈c以v=400m/s的初速度水平射入a并留在其中，當彈簧壓縮到最短時使彈簧處于鎖定狀態(tài)，之后它們共同沿粗糙曲面AB滑下，經過B點后，進入豎直平面的圓形光滑軌道，并能通過圓軌道的最高點C已知圓軌道半徑R=0.4m，當ab到達C位置時彈簧在極短時間內解除鎖定并迅速與a、b分離，分離后a的速度恰好為零而b繼續(xù)沿圓周運動．將a、b以及彈簧組成的系統(tǒng)看成質點，不計彈簧壓縮和彈開的時間，設a球落下后不會與b球相椪，求（取g=10m/s²）：
（1）彈簧處于鎖定狀態(tài)時具有的彈性熱能Ep；
（2）子彈c和a、b在AB段克服阻力所做的功W
（3）小球b第二次到達B處時對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）子彈c射入a的過程，系統(tǒng)的動量守恒，由動量守恒定律求出ac的共同速度．之后ac壓縮彈簧，當ac與b的速度相同時，彈簧壓縮到最短，由系統(tǒng)的動量守恒和機械能守恒求彈簧處于鎖定狀態(tài)時具有的彈性熱能E_p；
（2）在C點，彈簧在極短時間內解除鎖定a、b分離，由動量守恒定律和機械能守恒定律結合求出整體到達C點的速度和a、b分離瞬間a的速度．從B到C，由機械能守恒定律求出整體在B點的速度．從A到B的過程，由動能定理求克服阻力所做的功W．
（3）小球b由C到B過程，由機械能守恒定律求出b球第二次到達B點的速度．在B點，由合力提供向心力，由牛頓定律求小球b對軌道的壓力．

解答 解：（1）子彈c射入a，對ac系統(tǒng)，取向右為正方向，由動量守恒定律得
           m_cv=（m_c+m_a）v₁
解得，子彈射入a后ac的共同速度 v₁=40m/s
彈簧壓縮到最短時，a、b、c三者的速度相同，對abc系統(tǒng)，由動量守恒定律得
      m_cv=（m_c+m_b+m_a） v₂
解得，v₂=20m/s
彈簧處于鎖定狀態(tài)時具有的彈性勢能 E_p=$\frac{1}{2}$（m_c+m_a）v₁²-$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₂²=40J
（2）A到B過程，由動能定理得
   （m_c+m_b+m_a）gH-W_f=$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₃²-$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₂²
B到C過程，abc整體的機械能守恒，則有：
  $\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₃²=$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₄²+（m_c+m_b+m_a）g•2R
彈簧在極短時間內解除鎖定a、b分離，取向左為正方向，由動量守恒定律得
     （m_c+m_b+m_a） v₄=m_bv₅
由能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₄²+E_p=$\frac{1}{2}$m_b v₅²
解得 v₄=20m/s   v₅=40m/s   v₃=40m/s
子彈和a、b在AB段克服阻力所做的功  W_f=0.4J  
（3）小球b由C到B過程，由機械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$m_bv₆²=$\frac{1}{2}$m_b v₅²+m_bg•2R
小球b第二次到達B處時   F₁-m_bg=m_b$\frac{{v}_{6}^{2}}{R}$
解得  F₁=321N    
由牛頓第三定律有對軌道的壓力  F₂=F₁=405N 
答：
（1）彈簧處于鎖定狀態(tài)時具有的彈性熱能E_p是40J．
（2）子彈c和a、b在AB段克服阻力所做的功W是0.4J．
（3）小球b第二次到達B處時對軌道的壓力是405J．

點評 本題是多對象、多過程的問題，關鍵要抓住每個過程和狀態(tài)的物理規(guī)律，知道子彈射入a時，a、c系統(tǒng)的動量守恒，但b未參與．彈簧釋放的過程，系統(tǒng)遵守兩大守恒：動量守恒定律和能量守恒定律．