Question

14．如圖所示，在y軸左側的區(qū)域內存在方向與x軸同向的勻強電場，電場強度為E．在y軸右側以原點O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內存在勻強磁場，磁場的方向垂直于xoy平面并指向紙面里，磁感應強度為B．x軸上的A點與O點的距離為d．一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點由靜止釋放，經電場加速后從O點射入磁場．不計粒子的重力作用
（1）求粒子在磁場中運動的軌道半徑r．
（2）要使粒子進入磁場之后不再經過y軸，電場強度需大于或等于某個值E₀，求E₀；
（3）若電場強度E等于第（2）問中E₀的$\frac{2}{3}$，求粒子經過y軸時的位置．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先在電場中加速后進入磁場中偏轉．根據動能定理求加速獲得的速度，由牛頓第二定律和向心力公式結合求磁場中運動的半徑；
（2）要使粒子之后恰好不再經過x軸，則離開磁場時的速度方向與x軸平行，畫出粒子的運動軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，由上題結論求E₀．
（3）若電場強度E等于第（2）問E₀的$\frac{2}{3}$，求粒子在磁場中運動的軌跡半徑，畫出粒子的運動軌跡，由幾何知識求經過y軸時的位置．

解答 解：（1）粒子在電場中做勻加速運動，
則有：Eq=ma，v²=2ad，
粒子進入磁場中做勻速圓周運動，
則有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$r=\frac{{\sqrt{2mqEd}}}{qB}$；
（2）粒子之后恰好不再經過y軸，則粒子離開磁場時的速度方向與y軸平行，
由幾何關系可得：$r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$，解得：${E_0}=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{4md}$；
（3）將$E=\frac{2}{3}{E_0}$代入可得磁場中運動的軌道半徑：r′=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，
帶電粒子運動軌跡如圖所示，則有：$cosα=\frac{{\frac{R}{2}}}{r^/}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即：α=30°，β=2α=60°，
粒子第一次經過y軸時的位置坐標為：
${y_1}={r^/}+\frac{r^/}{cosβ}$，解得：${y_1}=\sqrt{3}R$，
此后粒子進入電場中，做類平拋運動，設在電場中運動的時間為t，
沿y軸方向上又運動的距離為△y，則有：△y=vsinαt，$vcosα=a\frac{t}{2}$，
解得：$△y=\sqrt{3}d$，則粒子第二次經過y軸時的位置坐標為：${y_2}=\sqrt{3}（R+d）$；
答：（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑r為$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$．
（2）要使粒子進入磁場之后不再經過y軸，電場強度需大于或等于某個值E₀，E₀為$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（3）若電場強度E等于第（2）問中E₀的$\frac{2}{3}$，粒子經過y軸時的位置為$\sqrt{3}$（R+d）．

點評 本題是帶電粒子在復合場中運動的類型，運用動能定理、牛頓第二定律和幾何知識結合進行解決．