Question

18．如圖，A是半徑為R的光滑圓弧軌道的最低點(diǎn)，B、C為可視為質(zhì)點(diǎn)的兩小球，將B放在A點(diǎn)正上方h處，將C放在離A點(diǎn)很近的軌道上，同時(shí)由靜止釋放B、C兩球（忽略空氣阻力）．當(dāng)B球下落到A點(diǎn)時(shí)恰好與C球相遇，h的最小值應(yīng)為$\frac{{π}^{2}R}{8}$；將C球向A點(diǎn)移動(dòng)至原AC弧的中點(diǎn)，再次同時(shí)釋放兩球，仍當(dāng)B球下落到A點(diǎn)時(shí)恰好與C球相遇，h的最小值將不變（選填“減小”、“不變”或“增大”）．

Answer 1

分析 C球在光滑圓弧軌道的運(yùn)動(dòng)近似于一個(gè)單擺模型，計(jì)算出到A點(diǎn)的時(shí)間；B球做自由落體運(yùn)動(dòng)，兩球相遇，則到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間相等，建立等式求出h的最小值．

解答 解：C球沿光滑圓弧軌道做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（由于C放在離A點(diǎn)很近的軌道上，可認(rèn)為擺角θ＜5°）．此振動(dòng)與一個(gè)擺長(zhǎng)為R的單擺振動(dòng)模型相同，故此等效擺長(zhǎng)為R，B球下落到A點(diǎn)時(shí)恰好與C球相遇，C球第1次經(jīng)過A點(diǎn)就和B球相遇，時(shí)間最短，此時(shí)h有最小值
因此C球第1次到達(dá)A處的時(shí)間為：${t}_{C}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
B球做自由落體運(yùn)動(dòng)，下落到A點(diǎn)的時(shí)間為${t}_{B}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
兩球相遇有：t_B=t_C
解得h=$\frac{{π}^{2}R}{8}$
將C球向A點(diǎn)移動(dòng)至原AC弧的中點(diǎn)，C球依然做間諧運(yùn)動(dòng)，此振動(dòng)動(dòng)與一個(gè)擺長(zhǎng)為R的單擺振動(dòng)模型相同，故C球到A點(diǎn)的時(shí)間不變
再次同時(shí)釋放兩球，仍當(dāng)B球下落到A點(diǎn)時(shí)恰好與C球相遇，h的最小值依然將不變．
故答案為：$\frac{{π}^{2}R}{8}$； 不變

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是掌握單擺的周期公式．將C球的運(yùn)動(dòng)等效于一個(gè)擺長(zhǎng)為R的單擺的運(yùn)動(dòng)．