Question

20．當代物理理論認為：當一個體系的勢能最小時，系統(tǒng)會處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個規(guī)律稱為“最小勢能原理”．
如圖甲所示，兩個帶正電的小球A、B套在一個傾斜的光滑直桿上，兩球均可視為點電荷，其中A球固定，帶電量Q_A=2×10^-4C，B球的質(zhì)量為m=0.1kg．以A為坐標原點，沿桿向上建立直線坐標系如乙圖，B球的總勢能隨位置x的變化規(guī)律如圖中曲線Ⅰ所示，直線Ⅱ為曲線I的漸近線，P點為曲線Ⅰ的最低點，坐標為（6m、6J），Q點坐標為（2m、10J）．甲圖中M點離A點距離為6m．（g取10m/s²，靜電力恒量k=9.0×10⁹N•m²/C²．）
（1）求桿與水平面的夾角θ；
（2）求B球的帶電量Q_B；
（3）求M點電勢φ_M；
（4）若B球以E_k0=4J的初動能從M點開始沿桿向上滑動，求B球運動過程中離A球的最近距離及此時B球的加速度．

Answer 1

分析 （1）由圖知，E_p=mgxsinθ=kx，從而桿與水平面的角度θ；
（2）由圖乙中曲線Ⅰ知，在x=6m處總勢能最小，B球的動能最大，受力平衡，根據(jù)平衡條件和庫侖定律求解電荷B球的帶電量Q_B；
（3）求M點的電勢能，根據(jù)電勢和電勢能關(guān)系求解電勢；
（4）根據(jù)能量守恒求出B球的總勢能，由圖讀出x．由牛頓運動定律求解加速度a．

解答 解：（1）漸進線Ⅱ表示B的重力勢能隨位置的變化關(guān)系，即：
E_p=mgxsinθ=kx
得：sinθ=$\frac{k}{mg}$=$\frac{\frac{5}{10}}{0.1×10}$=0.5
即：θ=30°；
（2）由圖乙中的曲線Ⅰ知，在x=6m出總勢能最小，動能最大，該位置B受力平衡，則有：
mgsin30°=k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{6}^{2}}$
即：1×$\frac{1}{2}$=9×10⁹×$\frac{2×1{0}^{-4}×{Q}_{B}}{{6}^{2}}$
解得：Q_B=1×10^-5C；
（3）M點的電勢能為：E_PM=E_總-E_P=6J-3J=3J
M點電勢為：φ_M=$\frac{{E}_{pM}}{{Q}_{B}}$=$\frac{3}{1×{0}^{-5}}$V=3×10⁵；
（4）在M點B球總勢能為6J，根據(jù)能量守恒定律，當B的動能為零，總勢能為10J，由曲線Ⅰ知B離A的最近距離為：
x=2m
k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{x}^{2}}$-mgsinθ=ma
解得：a=9×10⁹×$\frac{2×1{0}^{-4}×1×1{0}^{-5}}{0.1×{2}^{2}}$-10sin30°=40m/s²，方向沿桿向上；
答：（1）桿與水平面的夾角θ為30°；
（2）B球的帶電量Q_B是1×10^-5C；  
（3）M點電勢φ_M是3×10⁵V；
（4）B球運動過程中離A球的最近距離是2m，此時B球的加速度是40m/s²，方向沿桿向上．

點評 此題考查讀圖能量，注意選擇合適的點，知道B球的動能最大時合力為零，明確小球在運動過程中，總能量守恒，要熟練應(yīng)用牛頓運動定律和能量守恒解題．