Question

（2011?北京）利用電場(chǎng)和磁場(chǎng)，可以將比荷不同的離子分開，這種方法在化學(xué)分析和原子核技術(shù)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用．如圖所示的矩形區(qū)域ACDG（AC邊足夠長(zhǎng)）中存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，A處有一狹縫．離子源產(chǎn)生的離子，經(jīng)靜電場(chǎng)加速后穿過狹縫沿垂直于GA邊且垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)到GA邊，被相應(yīng)的收集器收集．整個(gè)裝置內(nèi)部為真空．已知被加速的兩種正離子的質(zhì)量分別是m₁和m₂（m₁＞m₂），電荷量均為q．加速電場(chǎng)的電勢(shì)差為U，離子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度可以忽略．不計(jì)重力，也不考慮離子間的相互作用．
（1）求質(zhì)量為m₁的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率v₁；
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B時(shí)，求兩種離子在GA邊落點(diǎn)的間距s；
（3）在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實(shí)際裝置中狹縫具有一定寬度．若狹縫過寬，可能使兩束離子在GA邊上的落點(diǎn)區(qū)域交疊，導(dǎo)致兩種離子無法完全分離．設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)，GA邊長(zhǎng)為定值L，狹縫寬度為d，狹縫右邊緣在A處．離子可以從狹縫各處射入磁場(chǎng)，入射方向仍垂直于GA邊且垂直于磁場(chǎng)．為保證上述兩種離子能落在GA邊上并被完全分離，求狹縫的最大寬度．

Answer 1

分析：（1）離子在電場(chǎng)中做加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒即可求出離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．
（2）離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)向心力提供洛倫茲力，由帶電離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式可分別求出質(zhì)量為m₁、m₂的粒子的軌跡半徑，兩個(gè)軌跡的直徑之差就是離子在GA邊落點(diǎn)的間距．
（3）由題意畫出草圖，通過圖找出兩個(gè)軌跡因?qū)挾葹閐狹縫的影響，從而應(yīng)用幾何知識(shí)找出各量的關(guān)系，列式求解．

解答：解：
（1）動(dòng)能定理  Uq=

1

2

m1

v

2 1

得：v1=

2qU m1

…①
（2）由牛頓第二定律和軌道半徑有：
 qvB=

mv2

R

，R=

mv

qB

利用①式得離子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為別為（如圖一所示）：
 R1=

2m1U qB2

，R2=

2m2U qB2

…②
兩種離子在GA上落點(diǎn)的間距s=2(R1-R2)=

8U qB2

(

m1

-

m2

)…③
（3）質(zhì)量為m₁的離子，在GA邊上的落點(diǎn)都在其入射點(diǎn)左側(cè)2R₁處，由于狹縫的寬度為d，因此落點(diǎn)區(qū)域的寬度也是d（如圖二中的細(xì)線所示）．同理，質(zhì)量為m₂的離子在GA邊上落點(diǎn)區(qū)域的寬度也是d（如圖二中的粗線所示）．為保證兩種離子能完全分離，兩個(gè)區(qū)域應(yīng)無交疊，條件為2（R₁-R₂）＞d…④
利用②式，代入④式得：2R1(1-

m2 m1

)＞d
R₁的最大值滿足：
2R_1m=L-d
得：(L-d)(1-

m2 m1

)＞d
求得最大值：dm=

m1 - m2

2 m1 - m2

L．

點(diǎn)評(píng)：此題考查帶電粒子在有界電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，類似質(zhì)譜儀，解題方式和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)相似，確定圓心，軌跡和半徑，整體上難度較低．