Question

（18分）如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37^o，CD、EF軌道水平，AB與CD通過(guò)光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連。小球可以從D進(jìn)入該軌道，沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道。小球由靜止從A點(diǎn)釋放，已知AB長(zhǎng)為5R，CD長(zhǎng)為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，sin37^o=0.6，cos37^o=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R。求：

⑴小球滑到斜面底端C時(shí)速度的大小。
(2)小球?qū)�剛到C時(shí)對(duì)軌道的作用力。
(3)要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R’應(yīng)該滿足什么條件？若R’=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多遠(yuǎn)？
注：在運(yùn)算中，根號(hào)中的數(shù)值無(wú)需算出。

Answer 1

（1） （2）6.6mg ，方向豎直向下 （3）要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，情況一：小球b能滑過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．R′≤0.92R，小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D；情況二：R′≥2.3R，b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處，a球停在D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)R處．

解析試題分析：（1）設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v，a球從A運(yùn)動(dòng)至C過(guò)程，由動(dòng)能定理有
      （2分）
可得                       （1分）
（2）小球沿BC軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)球的作用力為N，由牛頓第二定律
 ， （2分） 其中r滿足   r+r·sin53⁰=1.8R   （1分）
聯(lián)立上式可得：N=6.6mg         （1分）
由牛頓第三定律可得，球?qū)�軌道的作用力�?.6mg ，方向豎直向下。 （1分）
（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球能滑過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道。則小球b在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足  （1分）
小球從C直到P點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理，有      （1分）
可得                   （1分）
情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D。則由動(dòng)能定理有
                 （1分）
              （1分）
若，由上面分析可知，小球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過(guò)DC軌道，并沿CB運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)的速度為v_B,，則由能量守恒定律有          （1分）
由⑤⑨式，可得                   （1分）
故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球?qū)⒃趦蓤A軌道之間做往返運(yùn)動(dòng)，小球?qū)⑼Ｔ贑D軌道上的某處。設(shè)小球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S，則由能量守恒定律，有         （1分）
由⑤⑩兩式，可得   S=5.6R             （1分）
所以知，b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處。      （1分）
考點(diǎn)：本題考查圓周運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合能力。