Question

空間中存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一帶電量為+q、質(zhì)量為m的粒子，在P點(diǎn)以某一初速開始運(yùn)動(dòng)，初速方向在圖中紙面內(nèi)如圖中P點(diǎn)箭頭所示．該粒子運(yùn)動(dòng)到圖中Q點(diǎn)時(shí)的速度方向與P點(diǎn)時(shí)速度方向垂直，如圖中Q點(diǎn)箭頭所示．已知P、Q間的距離為l．若保持粒子在P點(diǎn)時(shí)的速度不變，而將勻強(qiáng)磁場換成勻強(qiáng)電場，電場方向與紙面平行且與粒子在P點(diǎn)時(shí)速度方向垂直，在此電場作用下粒子也由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)．不計(jì)重力．求：
（1）電場強(qiáng)度的大�。�
（2）兩種情況中粒子由P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間之差．

Answer 1

分析：（1）已知入射速度方向和出射速度方向，由于速度方向始終沿切線方向，故速度方向必與半徑垂直，過P點(diǎn)做入射速度的垂線，再過Q點(diǎn)做出射速度的垂線，兩垂線交與一點(diǎn)O，則O即是該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心．粒子運(yùn)動(dòng)了

1

4

周，所以PO=QO=R，R為粒子運(yùn)動(dòng)半徑．又PQ=l，所以R=

l

2

（定圓心、找半徑）
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，故有qv0B=m

v 2 0

R

，由上述兩式可以求出入射速度v₀．
把磁場換成與紙面平行且垂直于入射速度v₀的電場后，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的水平位移x=v0t=R=

l

2

，豎直位移y=

1

2

×

qE

m

×t2=R=

l

2

，代入數(shù)據(jù)即可求解．
（2）由題意知粒子在磁場中由P運(yùn)動(dòng)到Q用了

1

4

周期．軌跡為

1

4

圓周．

解答：解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以v₀表示粒子在P點(diǎn)的初速度，R表示圓周半徑，則有   qv0B=m

v 2 0

R

…①
由于粒子在Q點(diǎn)的速度垂直于它在4P點(diǎn)時(shí)的速度，可知粒子由P點(diǎn)到Q點(diǎn)的軌跡是圓周的

1

4

，
故有         R=

l

2

…②
聯(lián)立①②得：v0=

qlB

2 m

…③
在電場中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，分別以x、y、E、a、t_E表示射程、偏轉(zhuǎn)位移、電場強(qiáng)度，加速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，
則：
            qE=ma…④
垂直v₀方向 y=R=

1

2

a

t

2 E

…⑤
沿v₀方向   x=R=v₀t_E…⑥
聯(lián)立②③④⑤⑥各式可解得：E=

2

qlB2

m

  
電場強(qiáng)度的大小為：E=

2

qlB2

m

；
（2）由分析知粒子在磁場中由P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t_B為

1

4

周期，
故：tB=

1

4

T=

1

4

2πR

v0

=

π

2

m

qB

在電場中由P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間tE=

R

v0

=

m

qB

由P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間之差   tB-tE=(

π

2

-1)

m

qB

兩種情況中粒子由P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間之差為(

π

2

-1)

m

qB

點(diǎn)評：帶電粒子在垂直磁場射入，粒子將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對于此類問題一般是依照“找圓心，定半徑，求時(shí)間“來解決．