Question

9．如圖，一個(gè)截面積為2S、盛有足夠深的水的圓柱形容器放a在水平面上，容器內(nèi)有一個(gè)活塞將水和一部分空氣封閉，活塞能沿容器壁無(wú)摩擦滑動(dòng)而不漏氣．容器內(nèi)水面上漂浮著一只倒扣的、薄壁圓柱形杯（杯的厚度可以忽略），其截面積為S，杯內(nèi)封閉著一部分氣體．當(dāng)活塞與容器中杯外水面距離為H時(shí)，杯底與容器內(nèi)的水面高度差為h，此時(shí)杯內(nèi)氣柱的高度為2h，壓強(qiáng)與2h的水柱形成的壓強(qiáng)相等．將活塞向下移動(dòng)，使得杯底恰好與容器內(nèi)的水面相平時(shí)，杯內(nèi)、外水面高度均不變，杯內(nèi)氣柱的高度變?yōu)閔，求活塞向下移動(dòng)的距離x．（整個(gè)過(guò)程溫度不變）

Answer 1

分析 杯內(nèi)的氣體和容器中的氣體溫度不變，分別運(yùn)用玻意耳定律列方程，即可求出活塞向下移動(dòng)的距離．

解答 解：設(shè)杯外氣體壓強(qiáng)為${p}_{1}^{\;}$，杯內(nèi)氣體壓強(qiáng)為${p}_{2}^{\;}$
${p}_{1}^{\;}+ρgh={p}_{2}^{\;}$①
根據(jù)題意有：${p}_{2}^{\;}=2ρgh$②
解得${p}_{1}^{\;}=ρgh$
對(duì)杯子，受力分析有：${p}_{2}^{\;}S=mg+{p}_{1}^{\;}S$③
聯(lián)立得ρghS=mg
對(duì)杯子內(nèi)外氣體壓力差不變，${p}_{1}^{′}+ρgh={p}_{2}^{′}$④
杯內(nèi)氣體體積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，根據(jù)玻意耳定律，有${p}_{2}^{\;}•2hS={p}_{2}^{′}hS$⑤
得${p}_{2}^{′}=2{p}_{2}^{\;}=4ρgh$⑥
${p}_{1}^{′}=3ρgh$=$3{p}_{1}^{\;}$⑦
對(duì)杯外氣體，原來(lái)的壓強(qiáng)為${p}_{1}^{\;}$
根據(jù)玻意耳定律知，體積為原來(lái)的$\frac{1}{3}$
原來(lái)體積H•2S-Sh
后來(lái)體積：（H-x）•2S
$（H-x）•2S=\frac{1}{3}（H•2S-Sh）$
解得：x=$\frac{4H+h}{6}$
答：活塞向下移動(dòng)的距離x為$\frac{4H+h}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查玻意耳定律的應(yīng)用和氣體壓強(qiáng)的計(jì)算，解題時(shí)要注意兩部分氣體壓強(qiáng)之間的關(guān)系，結(jié)合一定的幾何關(guān)系求體積．