Question

13．如圖所示轉(zhuǎn)架，長為L的桿臂與豎直軸間固定，夾角θ=45°，桿臂下端固定質(zhì)量為m的重球，當(dāng)桿臂隨豎直軸一起以如下角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，求桿臂對球的作用力．
（1）ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$；
（2）ω₂=$\sqrt{\frac{g}{2L}}$．

Answer 1

分析 首先對重球進行受力分析，重球受兩個力，一是重力，二是桿對重球的作用力；無論球怎么轉(zhuǎn)動，在豎直方向上合力是為零的，即為桿對重球的作用力在豎直方向上的分力與重力大小相等，方向相反；桿對重球的作用力在水平方向上的分力提供向心力；先根據(jù)角速度的大小，求得向心力的大小，利用力的合成與分解即可得知桿臂對球的作用力大小，幾何幾何關(guān)系可求得力的方向．

解答 解：對球受力分析，受重力和桿的作用力，桿對球的作用力在豎直方向上的分量與重力大小相等，方向相反；桿對球的作用力在水平方向上的分量提供向心力．求做勻速圓周運動的半徑為R=Lsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
（1）、當(dāng)角速度為ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$時，重球需要的向心力為：F_向1=mω₁²R=m×（$\sqrt{\frac{2g}{L}}$）²×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L=$\sqrt{2}$mg
桿臂對球的作用力為：F₁=$\sqrt{{F}_{向1}^{2}+（mg）^{2}}$=$\sqrt{3}$mg
設(shè)與水平方向的夾角為r，有：sinr=$\frac{mg}{\sqrt{3}mg}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以有：r=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）、當(dāng)角速度為ω₂=$\sqrt{\frac{g}{2L}}$時，重球需要的向心力為：F_向2=mω₂²R=m×（$\sqrt{\frac{g}{2L}}$）²×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L=$\frac{\sqrt{2}}{4}$mg
桿臂對球的作用力為：F₂=$\sqrt{{F}_{向2}^{2}+（mg）^{2}}$=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$mg
設(shè)與水平方向的夾角為r′，有：sinr′=$\frac{mg}{\frac{3}{4}\sqrt{2}mg}$=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$
所以有：r′=arcsin（$\frac{2}{3}\sqrt{2}$）
答：（1）當(dāng)加速度為ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$時，桿臂對球的作用力為$\sqrt{3}$mg，與水平方向上的夾角為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）當(dāng)加速度為ω₂=$\sqrt{\frac{g}{2L}}$時，桿臂對球的作用力為$\frac{3}{4}\sqrt{2}$mg，與水平方向上的夾角為arcsin（$\frac{2}{3}\sqrt{2}$）

點評 向心力是從力的作用效果來命名的，因為它產(chǎn)生指向圓心的加速度，所以稱它為向心力．它不是具有確定性質(zhì)的某種類型的力．相反，任何性質(zhì)的力都可以作為向心力．實際上它可是某種性質(zhì)的一個力，或某個力的分力，還可以是幾個不同性質(zhì)的力沿著半徑指向圓心的合外力．
同時要熟練的掌握向心力的表達式：F_向=ma=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mω²R=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=4mπ²f²R=mω²v=4π²mn²R
其中：v為線速度，單位m/s，ω為角速度，單位rad/s，m為物體質(zhì)量，單位kg，R為物體的運動半徑，單位m，T為圓周運動周期，單位s，f為圓周運動頻率，單位Hz，n為圓周運動轉(zhuǎn)速（即頻率），單位r/s．