Question

（2013?黃岡一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限虛線左側(cè)有方向沿y軸負(fù)方向的有界勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E，第三象限內(nèi)充滿著垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．在電場區(qū)域內(nèi)有一動點(diǎn)P，當(dāng)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子從P點(diǎn)沿x軸負(fù)方向以大小為

v

0

的初速度開始運(yùn)動，粒子能從O點(diǎn)離開電場進(jìn)入磁場．（不計(jì)粒子重力）
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)x、y滿足的關(guān)系；
（2）若當(dāng)P點(diǎn)位于電場的右邊界時(shí)，粒子運(yùn)動到O點(diǎn)的速度方向與x軸負(fù)方向成45°．求第三象限內(nèi)粒子可能經(jīng)過的區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式，運(yùn)用運(yùn)動的分解法可求出xy之間的關(guān)系；
（2）由速度的合成法求出粒子進(jìn)入第IV象限磁場時(shí)的速度大小和方向，由幾何知識確定粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的方向．最終確定第三象限內(nèi)粒子可能經(jīng)過的區(qū)域的面積．

解答：解：（1）電子在電場中做類平拋運(yùn)動，則x=v₀t
y=

1

2

at2
又由牛頓第二定律得 a=

qE

m

解得：y=

qE

2m v 2 0

?x2
（2）設(shè)當(dāng)粒子從O點(diǎn)射入時(shí)受到與x軸負(fù)方向的夾角為θ，速度的大小為v，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為r，交y軸與q點(diǎn)，如圖a所示，
則有：qvB=m

v2

r

由粒子做平拋運(yùn)動后的速度v：vcosθ=v₀
可得：r=

mv0

qBcosθ

由幾何關(guān)系得：

.

OQ

=2rcosθ
所以：

.

OQ

=

2mv0

qB

所以所有從o點(diǎn)射入的粒子打偶打在Q點(diǎn)．
如圖b所示，當(dāng)粒子射入的速度與x軸負(fù)方向的夾角θ=0時(shí)，粒子在磁場中的軌跡為半圓周，半徑：r1=

mv0

qB

當(dāng)粒子射入的速度與x軸負(fù)方向的夾角θ=45°時(shí)，粒子在磁場中的軌跡為

1

4

圓周，半徑r2=

2 mv0

qB

所以粒子在磁場中可能的運(yùn)動軌跡在上述兩個(gè)圓弧圍成的區(qū)域內(nèi)．由幾何知識可得該區(qū)域的面積：
S=

1

2

π

r

2 1

-(

1

4

π

r

2 2

-

1

2

r

2 2

)
聯(lián)立以上各式可得：S=

m2 v 2 0

q2B2

答：（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)x、y滿足的關(guān)系為y=

qE

2m v 2 0

?x2；
（2）第三象限內(nèi)粒子可能經(jīng)過的區(qū)域的面積S=

m2 v 2 0

q2B2

．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子在電場和磁場中運(yùn)動的問題，畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識求出電子的軌跡半徑是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要抓住幾個(gè)過程之間的聯(lián)系，比如速度關(guān)系、位移關(guān)系等