Question

13．如圖所示，在一底邊長為2a，角θ=30°的等腰三角形區(qū)域（D在底邊中點(diǎn)），有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子以大小為v₀的初速度從D點(diǎn)垂直于EF進(jìn)入磁場，不計(jì)重力與空氣阻力的影響．
（1）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，粒子進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)后能打到ED板，求粒子從進(jìn)入磁場到第一次打到ED板上所用的最長時(shí)間；
（2）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可以再延長粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，設(shè)粒子與ED板碰撞時(shí)，電荷量保持不變并以相同的速率反彈，不計(jì)粒子與ED板碰撞的時(shí)間，求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理可求得粒子的速率；再由題意明確粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長路程的可能情況，則可求得最長時(shí)間；
（2）由題意可明確粒子經(jīng)過的最大路程的表達(dá)式，由圓周運(yùn)動(dòng)的周期可示得最長時(shí)間．

解答 解：（1）依題意，粒子經(jīng)電場加速射入磁場時(shí)的速度為v，由qU=$\frac{1}{2}$mv²得：
v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$  
粒子速率恒定，從進(jìn)入磁場到第一次打到ED板的圓周軌跡到EC邊相切時(shí)，路程最長，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，設(shè) 圓周半徑為r₁
由圖中幾何關(guān)系：r₁+$\frac{{r}_{1}}{sinθ}$=a
解得：r₁=$\frac{a}{3}$ 
則最長時(shí)間為：t=$\frac{π{r}_{1}}{v}$
聯(lián)立解得：t=$\frac{πa}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
（2）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓周半徑為r，r=$\frac{mv}{Bq}$，當(dāng)r越小，后一次打到ED板的點(diǎn)越靠近E端點(diǎn)，在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)累積路程越大，時(shí)間越長．當(dāng)r為無窮小，經(jīng)過n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)，最后一次打到E點(diǎn)．
有：n=$\frac{a}{2r}$ 
圓周運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πr}{v}$ 
最長的極限時(shí)間：t_m=n$\frac{T}{2}$
聯(lián)立解得：t_m=$\frac{πa}{2v}$=$\frac{πa}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$　　　
答：（1）子從進(jìn)入磁場到第一次打到ED板上所用的最長時(shí)間為$\frac{πa}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況，要注意根據(jù)題意明確粒子可能的運(yùn)動(dòng)情況，正確確定圓心和半徑，才能由幾何關(guān)系正確求解．