Question

如圖所示，在傾角為θ = 30^o 的光滑斜面的底端有一個固定擋板D，小物體C靠在擋板D上，小物體B與C用輕質(zhì)彈簧拴接。當(dāng)彈簧處于自然長度時，B在O點(diǎn)；當(dāng)B靜止時，B在M點(diǎn)，OM = l。在P點(diǎn)還有一小物體A，使A從靜止開始下滑，A、B相碰后一起壓縮彈簧。A第一次脫離B后最高能上升到N點(diǎn)，ON = 1.5 l。B運(yùn)動還會拉伸彈簧，使C物體剛好能脫離擋板D。A、B、C的質(zhì)量都是m，重力加速度為g。求
　�。�1）彈簧的勁度系數(shù)；
　�。�2）彈簧第一次恢復(fù)到原長時B速度的大��；
　�。�3）M、P之間的距離。

　　　　　　　　　

Answer 1

　解：（1）B靜止時，彈簧形變量為l，彈簧產(chǎn)生彈力F=kl
　　B物體受力如圖所示，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　根據(jù)物體平衡條件得
　　kl =mgsinθ
　　得彈簧的勁度系數(shù)k=
　�。�2）當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長時A、B恰好分離，設(shè)此時A、B速度的大小為v₃。
　　對A物體，從A、B分離到A速度變?yōu)?的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　此過程中A物體上升的高度
　　得
　�。�3）設(shè)A與B相碰前速度的大小為v₁，A與B相碰后速度的大小為v₂，M、P之間距離為x。對A物體，從開始下滑到A、B相碰的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　A與B發(fā)生碰撞，根據(jù)動量守恒定律得 m v₁=（m+m）v₂
　　設(shè)B靜止時彈簧的彈性勢能為E_P，從A、B開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　B物體的速度變?yōu)?時，C物體恰好離開擋板D，此時彈簧的伸長量也為l，彈簧的彈性勢能也為E_P。對B物體和彈簧，從A、B分離到B速度變?yōu)?的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　解得x=9l
　　【說明】這是一道力學(xué)綜合題。試題主要考查了物體的平衡、機(jī)械能守恒定律、動量守恒定律等知識。考查了學(xué)生的推理能力、應(yīng)用能力。
　　著重要分析物理情景。靜止、碰撞、分離、C物體恰好脫離D等狀態(tài)對應(yīng)的受力、能量，都是解題時要重點(diǎn)分析的所在。
　　尤其是A、B分離時的狀態(tài)，是解決本題后兩問的關(guān)鍵。A與B分離的條件是A、B間的相互作用力（彈力）等于零。在分離前，兩者一起運(yùn)動，速度和加速度都相同，A和B整體沿斜面方向受彈簧彈力和重力沿斜面方向分力而做減速運(yùn)動，隨彈簧形變的減小，加速度的大小也隨之減小，B對A的作用力也減小，直到作用力變?yōu)榱銜r，將要分離，分離時A的加速度大小為gsinθ，此時B的加速度大小也應(yīng)為gsinθ，所以彈簧處于自然狀態(tài)，即A與B在彈簧處于自然長度時分離。此后A和B的速度和加速度就不相同了。
　　第（3）問中，對學(xué)生使用機(jī)械能守恒定律時要確定研究對象、確定始末狀態(tài)，提出了較高的要求，目的是希望學(xué)習(xí)中對規(guī)律的使用要規(guī)范。
　　對A物體，從開始下滑到A、B相碰的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　對A、B和彈簧，從A、B開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　對B物體和彈簧，從A、B分離到B速度變?yōu)?的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　

　　本題難度：難