Question

2．如圖所示，水平光滑路面CD的右側(cè)有一質(zhì)量為M=2kg的長(zhǎng)木板處于靜止?fàn)顟B(tài)，一質(zhì)量為m=3kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以V₀=10m/s的初速度滑上長(zhǎng)木板M的右端，兩者共速時(shí)長(zhǎng)木板還未與平臺(tái)碰撞，長(zhǎng)木板M的上表面與固定平臺(tái)等高．平臺(tái)的上表面AB光滑，光滑半圓軌道AFE豎直固定在平臺(tái)上，圓軌道半徑R=0.4m，最低點(diǎn)與平臺(tái)AB相切于A點(diǎn)．當(dāng)長(zhǎng)木板與平臺(tái)的豎直墻壁碰撞后即被粘在墻壁上，物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，取g=10m/s²．
（1）求物塊與長(zhǎng)木板共速時(shí)的速度大小及長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度？
（2）物塊恰好從E點(diǎn)離開(kāi)圓弧軌道時(shí)長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度？
（3）討論長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度在什么范圍，物塊能滑上A點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道？

Answer 1

分析 （1）對(duì)物塊在木板上運(yùn)動(dòng)過(guò)程根據(jù)動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系可求得木板的最小長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)重力恰好充當(dāng)向心力即可求得物塊到越過(guò)最高點(diǎn)的速度，再對(duì)木板與墻相撞后過(guò)程分析，根據(jù)動(dòng)能定理可求得物塊在木板上滑上的距離，則可求得總長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)物體不會(huì)離開(kāi)軌道的條件分析，可知，要使物塊不離開(kāi)軌道，可以超過(guò)最高點(diǎn)，根據(jù)（2）中分析可求得木板的長(zhǎng)度范圍；物塊也可不超過(guò)R高度，同理由動(dòng)能定理可求得木板的長(zhǎng)度范圍．

解答 解：（1）設(shè)向左為正方向，則對(duì)物塊和長(zhǎng)木板由動(dòng)量守恒定律可知：
mv₀=（M+m）v
代入數(shù)據(jù)解得：v=6m/s；
若物塊恰好到達(dá)最左側(cè)時(shí)達(dá)到最大速度，則根據(jù)能量守恒定律可知：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+μmgL
代入數(shù)據(jù)解得：L=4m；
（2）要使物塊恰好從E點(diǎn)離開(kāi)，則此時(shí)重力恰好充當(dāng)向心力；則有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
再對(duì)木塊離開(kāi)木板到達(dá)最高點(diǎn)過(guò)程分析，由動(dòng)能定理可知：
-μmgL′-mg2R=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²；
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：L′=2m；
故木板總長(zhǎng)度為：L_總=L+L′=4+2=6m；
（3）由2的分析可知，當(dāng)木板總長(zhǎng)度L_總＜6m時(shí)，物體一定可以從最高點(diǎn)飛出，若物塊恰好到達(dá)$\frac{R}{2}$位置時(shí)，物體恰好也不能離開(kāi)曲面；則由動(dòng)能定理可知：
-μmgL″-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv²；
代入數(shù)據(jù)解得：L″=3m；
此時(shí)總長(zhǎng)度為：L_總=L+L″=4+3=7m；
要想使物塊上升高度不超過(guò)R，則長(zhǎng)度應(yīng)滿足L_總＞7m；
答：（1）求物塊與長(zhǎng)木板共速時(shí)的速度大小為6m/s； 長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度為4m．
（2）物塊恰好從E點(diǎn)離開(kāi)圓弧軌道時(shí)長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度為6m
（3）要使物塊能滑上A點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道應(yīng)滿足：L_總＜6m或L_總＞6m

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理以及向心力公式，要注意明確物理過(guò)程，并能通過(guò)分析選擇合理的物理規(guī)律；同時(shí)在解題時(shí)一定注意分析題目中隱含的信息，如物體恰能從E點(diǎn)飛出，說(shuō)明物體在最高點(diǎn)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，重力充當(dāng)向心力．