Question

15．如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜直軌道AB和圓軌道BCD組成，AB和BCD相切于B點(diǎn)，CD連線是圓軌道豎直方向的直徑（C，D為圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)），且∠BOC=θ=37°，圓軌道直徑d為0.4m．可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊從軌道AB上高H處的某點(diǎn)由靜止滑下，（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）求：

（1）剛好能通過圓軌道最高點(diǎn)D的高度H；
（2）若用壓力傳感器測(cè)出滑塊經(jīng)過圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力為F，求出壓力F與高度H的關(guān)系式，并在圖乙中繪制出二者的關(guān)系圖象．
（3）通過計(jì)算判斷是否存在某個(gè)H值，使得滑塊經(jīng)過最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）滑塊在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律與 機(jī)械能守恒定律可以求出高度．
（2）應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律求出H的表達(dá)式，然后作出圖象．
（3）滑塊離開D后做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和幾何關(guān)系分析答題．

解答 解：（1）滑塊從A運(yùn)動(dòng)到D的過程，由機(jī)械能守恒得：$mg（{H_1}-d）=\frac{1}{2}m{v_{D1}}^2$
且在D點(diǎn)滿足：$mg=m\frac{{{v_{D1}}^2}}{R}$   得：${v_{D1}}=\sqrt{2}m/s$，${H_1}=\frac{5}{4}d=0.5m$
（2）在D點(diǎn)滿足$F+mg=m\frac{{{v_D}^2}}{R}$
滑塊從A運(yùn)動(dòng)到D的過程，由機(jī)械能守恒得：$mg（H-d）=\frac{1}{2}m{v_D}^2$
得：F=10H-5，則F-H圖象如圖所示：

（3）假設(shè)滑塊經(jīng)過最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的E點(diǎn)（如圖所示）
從D到E過程滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：$OE=\frac{{\fracpddkinx{2}}}{sin37°}$
又  OE=v_D2t，$\fracpan39lx{2}=\frac{1}{2}g{t^2}$
得到：${v_{D2}}=\frac{5}{3}m/s$
而滑塊過D點(diǎn)的臨界速度為：${v_{D1}}=\sqrt{2}m/s$
由于：v_D2＞v_D1所以存在一個(gè)H值，使得滑塊經(jīng)過最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點(diǎn)
滑塊從A運(yùn)動(dòng)到D的過程，由機(jī)械能守恒得：$mg（H-d）=\frac{1}{2}m{v_D}^2$
得到：$H=\frac{97}{18}m≈0.54m$

答：
（1）剛好能通過圓軌道最高點(diǎn)D的高度H是0.5m．
（2）壓力F與高度H的關(guān)系式為 F=10H-5，F(xiàn)-H圖象如圖所示．
（3）存在，且H為0.54m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，關(guān)鍵要把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的臨界條件，應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律即可正確解題．