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科目：高中物理 來源： 題型：閱讀理解
（1）如圖1為實(shí)驗(yàn)室中驗(yàn)證動(dòng)量守恒實(shí)驗(yàn)裝置示意圖. |
| OP |
. |
| OM |
. |
| ON |
. |
| OP |
. |
| OM |
. |
| ON |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 前一部分 | 4.8 | 9.6 | 14.4 | 19.2 | 24.0 |
| 后一部分 | 2.04 | 4.56 | 7.56 | 11.04 | 15.00 |
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科目：高中物理 來源： 題型：
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科目：高中物理 來源： 題型：閱讀理解
第八部分 靜電場(chǎng)
第一講 基本知識(shí)介紹
在奧賽考綱中，靜電學(xué)知識(shí)點(diǎn)數(shù)目不算多，總數(shù)和高考考綱基本相同，但在個(gè)別知識(shí)點(diǎn)上，奧賽的要求顯然更加深化了：如非勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)的計(jì)算、電容器的連接和靜電能計(jì)算、電介質(zhì)的極化等。在處理物理問題的方法上，對(duì)無限分割和疊加原理提出了更高的要求。
如果把靜電場(chǎng)的問題分為兩部分，那就是電場(chǎng)本身的問題、和對(duì)場(chǎng)中帶電體的研究，高考考綱比較注重第二部分中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題，而奧賽考綱更注重第一部分和第二部分中的靜態(tài)問題。也就是說，奧賽關(guān)注的是電場(chǎng)中更本質(zhì)的內(nèi)容，關(guān)注的是縱向的深化和而非橫向的綜合。
一、電場(chǎng)強(qiáng)度
1、實(shí)驗(yàn)定律
a、庫侖定律
內(nèi)容；
條件：⑴點(diǎn)電荷，⑵真空，⑶點(diǎn)電荷靜止或相對(duì)靜止。事實(shí)上，條件⑴和⑵均不能視為對(duì)庫侖定律的限制，因?yàn)榀B加原理可以將點(diǎn)電荷之間的靜電力應(yīng)用到一般帶電體，非真空介質(zhì)可以通過介電常數(shù)將k進(jìn)行修正（如果介質(zhì)分布是均勻和“充分寬廣”的，一般認(rèn)為k′= k /εr）。只有條件⑶，它才是靜電學(xué)的基本前提和出發(fā)點(diǎn)（但這一點(diǎn)又是常常被忽視和被不恰當(dāng)?shù)亍熬C合應(yīng)用”的）。
b、電荷守恒定律
c、疊加原理
2、電場(chǎng)強(qiáng)度
a、電場(chǎng)強(qiáng)度的定義
電場(chǎng)的概念；試探電荷（檢驗(yàn)電荷）；定義意味著一種適用于任何電場(chǎng)的對(duì)電場(chǎng)的檢測(cè)手段；電場(chǎng)線是抽象而直觀地描述電場(chǎng)有效工具（電場(chǎng)線的基本屬性）。
b、不同電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算
決定電場(chǎng)強(qiáng)弱的因素有兩個(gè)：場(chǎng)源（帶電量和帶電體的形狀）和空間位置。這可以從不同電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)決定式看出——
⑴點(diǎn)電荷：E = k
結(jié)合點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)和疊加原理，我們可以求出任何電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，如——
⑵均勻帶電環(huán)，垂直環(huán)面軸線上的某點(diǎn)P：E = 
，其中r和R的意義見圖7-1。
⑶均勻帶電球殼
內(nèi)部：E內(nèi) = 0
外部：E外 = k
，其中r指考察點(diǎn)到球心的距離
如果球殼是有厚度的的（內(nèi)徑R1 、外徑R2），在殼體中（R1＜r＜R2）：
E = 
，其中ρ為電荷體密度。這個(gè)式子的物理意義可以參照萬有引力定律當(dāng)中（條件部分）的“剝皮法則”理解〔
即為圖7-2中虛線以內(nèi)部分的總電量…〕。
⑷無限長均勻帶電直線（電荷線密度為λ）：E = 
⑸無限大均勻帶電平面（電荷面密度為σ）：E = 2πkσ
二、電勢(shì)
1、電勢(shì)：把一電荷從P點(diǎn)移到參考點(diǎn)P0時(shí)電場(chǎng)力所做的功W與該電荷電量q的比值，即
U = 
參考點(diǎn)即電勢(shì)為零的點(diǎn)，通常取無窮遠(yuǎn)或大地為參考點(diǎn)。
和場(chǎng)強(qiáng)一樣，電勢(shì)是屬于場(chǎng)本身的物理量。W則為電荷的電勢(shì)能。
2、典型電場(chǎng)的電勢(shì)
a、點(diǎn)電荷
以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，U = k
b、均勻帶電球殼
以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，U外 = k
，U內(nèi) = k
3、電勢(shì)的疊加
由于電勢(shì)的是標(biāo)量，所以電勢(shì)的疊加服從代數(shù)加法。很顯然，有了點(diǎn)電荷電勢(shì)的表達(dá)式和疊加原理，我們可以求出任何電場(chǎng)的電勢(shì)分布。
4、電場(chǎng)力對(duì)電荷做功
WAB = q（UA － UB）= qUAB
三、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體
靜電感應(yīng)→靜電平衡（狹義和廣義）→靜電屏蔽
1、靜電平衡的特征可以總結(jié)為以下三層含義——
a、導(dǎo)體內(nèi)部的合場(chǎng)強(qiáng)為零；表面的合場(chǎng)強(qiáng)不為零且一般各處不等，表面的合場(chǎng)強(qiáng)方向總是垂直導(dǎo)體表面。
b、導(dǎo)體是等勢(shì)體，表面是等勢(shì)面。
c、導(dǎo)體內(nèi)部沒有凈電荷；孤立導(dǎo)體的凈電荷在表面的分布情況取決于導(dǎo)體表面的曲率。
2、靜電屏蔽
導(dǎo)體殼（網(wǎng)罩）不接地時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)外部對(duì)內(nèi)部的屏蔽，但不能實(shí)現(xiàn)內(nèi)部對(duì)外部的屏蔽；導(dǎo)體殼（網(wǎng)罩）接地后，既可實(shí)現(xiàn)外部對(duì)內(nèi)部的屏蔽，也可實(shí)現(xiàn)內(nèi)部對(duì)外部的屏蔽。
四、電容
1、電容器
孤立導(dǎo)體電容器→一般電容器
2、電容
a、定義式 C = 
b、決定式。決定電容器電容的因素是：導(dǎo)體的形狀和位置關(guān)系、絕緣介質(zhì)的種類，所以不同電容器有不同的電容
⑴平行板電容器 C = 
= 
，其中ε為絕對(duì)介電常數(shù)（真空中ε0 = 
，其它介質(zhì)中ε= 
），εr則為相對(duì)介電常數(shù)，εr = 
。
⑵柱形電容器：C = 
⑶球形電容器：C = 
3、電容器的連接
a、串聯(lián) 
= 
+
+
+ … +
b、并聯(lián) C = C1 + C2 + C3 + … + Cn
4、電容器的能量
用圖7-3表征電容器的充電過程，“搬運(yùn)”電荷做功W就是圖中陰影的面積，這也就是電容器的儲(chǔ)能E ，所以
E = 
q0U0 = 
C
= 
電場(chǎng)的能量。電容器儲(chǔ)存的能量究竟是屬于電荷還是屬于電場(chǎng)？正確答案是后者，因此，我們可以將電容器的能量用場(chǎng)強(qiáng)E表示。
對(duì)平行板電容器 E總 = 
E2
認(rèn)為電場(chǎng)能均勻分布在電場(chǎng)中，則單位體積的電場(chǎng)儲(chǔ)能 w = 
E2 。而且，這以結(jié)論適用于非勻強(qiáng)電場(chǎng)。
五、電介質(zhì)的極化
1、電介質(zhì)的極化
a、電介質(zhì)分為兩類：無極分子和有極分子，前者是指在沒有外電場(chǎng)時(shí)每個(gè)分子的正、負(fù)電荷“重心”彼此重合（如氣態(tài)的H2 、O2 、N2和CO2），后者則反之（如氣態(tài)的H2O 、SO2和液態(tài)的水硝基笨）
b、電介質(zhì)的極化：當(dāng)介質(zhì)中存在外電場(chǎng)時(shí)，無極分子會(huì)變?yōu)橛袠O分子，有極分子會(huì)由原來的雜亂排列變成規(guī)則排列，如圖7-4所示。
2、束縛電荷、自由電荷、極化電荷與宏觀過剩電荷
a、束縛電荷與自由電荷：在圖7-4中，電介質(zhì)左右兩端分別顯現(xiàn)負(fù)電和正電，但這些電荷并不能自由移動(dòng)，因此稱為束縛電荷，除了電介質(zhì)，導(dǎo)體中的原子核和內(nèi)層電子也是束縛電荷；反之，能夠自由移動(dòng)的電荷稱為自由電荷。事實(shí)上，導(dǎo)體中存在束縛電荷與自由電荷，絕緣體中也存在束縛電荷和自由電荷，只是它們的比例差異較大而已。
b、極化電荷是更嚴(yán)格意義上的束縛電荷，就是指圖7-4中電介質(zhì)兩端顯現(xiàn)的電荷。而宏觀過剩電荷是相對(duì)極化電荷來說的，它是指可以自由移動(dòng)的凈電荷。宏觀過剩電荷與極化電荷的重要區(qū)別是：前者能夠用來沖放電，也能用儀表測(cè)量，但后者卻不能。
第二講 重要模型與專題
一、場(chǎng)強(qiáng)和電場(chǎng)力
【物理情形1】試證明：均勻帶電球殼內(nèi)部任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均為零。
【模型分析】這是一個(gè)疊加原理應(yīng)用的基本事例。
如圖7-5所示，在球殼內(nèi)取一點(diǎn)P ，以P為頂點(diǎn)做兩個(gè)對(duì)頂?shù)�、頂角很小的錐體，錐體與球面相交得到球面上的兩個(gè)面元ΔS1和ΔS2 ，設(shè)球面的電荷面密度為σ，則這兩個(gè)面元在P點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)分別為
ΔE1 = k
ΔE2 = k
為了弄清ΔE1和ΔE2的大小關(guān)系，引進(jìn)錐體頂部的立體角ΔΩ ，顯然
= ΔΩ = 
所以 ΔE1 = k
，ΔE2 = k
，即：ΔE1 = ΔE2 ，而它們的方向是相反的，故在P點(diǎn)激發(fā)的合場(chǎng)強(qiáng)為零。
同理，其它各個(gè)相對(duì)的面元ΔS3和ΔS4 、ΔS5和ΔS6 … 激發(fā)的合場(chǎng)強(qiáng)均為零。原命題得證。
【模型變換】半徑為R的均勻帶電球面，電荷的面密度為σ，試求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。
【解析】如圖7-6所示，在球面上的P處取一極小的面元ΔS ，它在球心O點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)大小為
ΔE = k
，方向由P指向O點(diǎn)。
無窮多個(gè)這樣的面元激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)大小和ΔS激發(fā)的完全相同，但方向各不相同，它們矢量合成的效果怎樣呢？這里我們要大膽地預(yù)見——由于由于在x方向、y方向上的對(duì)稱性，Σ
= Σ
= 0 ，最后的ΣE = ΣEz ，所以先求
ΔEz = ΔEcosθ= k
，而且ΔScosθ為面元在xoy平面的投影，設(shè)為ΔS′
所以 ΣEz = 
ΣΔS′
而 ΣΔS′= πR2
【答案】E = kπσ ，方向垂直邊界線所在的平面。
〖學(xué)員思考〗如果這個(gè)半球面在yoz平面的兩邊均勻帶有異種電荷，面密度仍為σ，那么，球心處的場(chǎng)強(qiáng)又是多少？
〖推薦解法〗將半球面看成4個(gè)
球面，每個(gè)
球面在x、y、z三個(gè)方向上分量均為
kπσ，能夠?qū)ΨQ抵消的將是y、z兩個(gè)方向上的分量，因此ΣE = ΣEx …
〖答案〗大小為kπσ，方向沿x軸方向（由帶正電的一方指向帶負(fù)電的一方）。
【物理情形2】有一個(gè)均勻的帶電球體，球心在O點(diǎn)，半徑為R ，電荷體密度為ρ ，球體內(nèi)有一個(gè)球形空腔，空腔球心在O′點(diǎn)，半徑為R′，
= a ，如圖7-7所示，試求空腔中各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。
【模型分析】這里涉及兩個(gè)知識(shí)的應(yīng)用：一是均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)定式（它也是來自疊加原理，這里具體用到的是球體內(nèi)部的結(jié)論，即“剝皮法則”），二是填補(bǔ)法。
將球體和空腔看成完整的帶正電的大球和帶負(fù)電（電荷體密度相等）的小球的集合，對(duì)于空腔中任意一點(diǎn)P ，設(shè)
= r1 ，
= r2 ，則大球激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為
E1 = k
= 
kρπr1 ，方向由O指向P
“小球”激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為
E2 = k
= 
kρπr2 ，方向由P指向O′
E1和E2的矢量合成遵從平行四邊形法則，ΣE的方向如圖。又由于矢量三角形PE1ΣE和空間位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不難確定了。
【答案】恒為
kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)。
〖學(xué)員思考〗如果在模型2中的OO′連線上O′一側(cè)距離O為b（b＞R）的地方放一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷，它受到的電場(chǎng)力將為多大？
〖解說〗上面解法的按部就班應(yīng)用…
〖答〗
πkρq〔
?
〕。
二、電勢(shì)、電量與電場(chǎng)力的功
【物理情形1】如圖7-8所示，半徑為R的圓環(huán)均勻帶電，電荷線密度為λ，圓心在O點(diǎn)，過圓心跟環(huán)面垂直的軸線上有P點(diǎn)，
= r ，以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，試求P點(diǎn)的電勢(shì)UP 。
【模型分析】這是一個(gè)電勢(shì)標(biāo)量疊加的簡單模型。先在圓環(huán)上取一個(gè)元段ΔL ，它在P點(diǎn)形成的電勢(shì)
ΔU = k
環(huán)共有
段，各段在P點(diǎn)形成的電勢(shì)相同，而且它們是標(biāo)量疊加。
【答案】UP = 
〖思考〗如果上題中知道的是環(huán)的總電量Q ，則UP的結(jié)論為多少？如果這個(gè)總電量的分布不是均勻的，結(jié)論會(huì)改變嗎？
〖答〗UP = 
；結(jié)論不會(huì)改變。
〖再思考〗將環(huán)換成半徑為R的薄球殼，總電量仍為Q ，試問：（1）當(dāng)電量均勻分布時(shí)，球心電勢(shì)為多少？球內(nèi)（包括表面）各點(diǎn)電勢(shì)為多少？（2）當(dāng)電量不均勻分布時(shí)，球心電勢(shì)為多少？球內(nèi)（包括表面）各點(diǎn)電勢(shì)為多少？
〖解說〗（1）球心電勢(shì)的求解從略；
球內(nèi)任一點(diǎn)的求解參看圖7-5
ΔU1 = k
= k
·
= kσΔΩ
ΔU2 = kσΔΩ
它們代數(shù)疊加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = kσΔΩ
而 r1 + r2 = 2Rcosα
所以 ΔU = 2RkσΔΩ
所有面元形成電勢(shì)的疊加 ΣU = 2RkσΣΔΩ
注意：一個(gè)完整球面的ΣΔΩ = 4π（單位：球面度sr），但作為對(duì)頂?shù)腻F角，ΣΔΩ只能是2π ，所以——
ΣU = 4πRkσ= k
（2）球心電勢(shì)的求解和〖思考〗相同；
球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)求解可以從（1）問的求解過程得到結(jié)論的反證。
〖答〗（1）球心、球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)均為k
；（2）球心電勢(shì)仍為k
，但其它各點(diǎn)的電勢(shì)將隨電量的分布情況的不同而不同（內(nèi)部不再是等勢(shì)體，球面不再是等勢(shì)面）。
【相關(guān)應(yīng)用】如圖7-9所示，球形導(dǎo)體空腔內(nèi)、外壁的半徑分別為R1和R2 ，帶有凈電量+q ，現(xiàn)在其內(nèi)部距球心為r的地方放一個(gè)電量為+Q的點(diǎn)電荷，試求球心處的電勢(shì)。
【解析】由于靜電感應(yīng)，球殼的內(nèi)、外壁形成兩個(gè)帶電球殼。球心電勢(shì)是兩個(gè)球殼形成電勢(shì)、點(diǎn)電荷形成電勢(shì)的合效果。
根據(jù)靜電感應(yīng)的嘗試，內(nèi)壁的電荷量為－Q ，外壁的電荷量為+Q+q ，雖然內(nèi)壁的帶電是不均勻的，根據(jù)上面的結(jié)論，其在球心形成的電勢(shì)仍可以應(yīng)用定式，所以…
【答案】Uo = k
－ k
+ k
。
〖反饋練習(xí)〗如圖7-10所示，兩個(gè)極薄的同心導(dǎo)體球殼A和B，半徑分別為RA和RB ，現(xiàn)讓A殼接地，而在B殼的外部距球心d的地方放一個(gè)電量為+q的點(diǎn)電荷。試求：（1）A球殼的感應(yīng)電荷量；（2）外球殼的電勢(shì)。
〖解說〗這是一個(gè)更為復(fù)雜的靜電感應(yīng)情形，B殼將形成圖示的感應(yīng)電荷分布（但沒有凈電量），A殼的情形未畫出（有凈電量），它們的感應(yīng)電荷分布都是不均勻的。
此外，我們還要用到一個(gè)重要的常識(shí)：接地導(dǎo)體（A殼）的電勢(shì)為零。但值得注意的是，這里的“為零”是一個(gè)合效果，它是點(diǎn)電荷q 、A殼、B殼（帶同樣電荷時(shí)）單獨(dú)存在時(shí)在A中形成的的電勢(shì)的代數(shù)和，所以，當(dāng)我們以球心O點(diǎn)為對(duì)象，有
UO = k
+ k
+ k
= 0
QB應(yīng)指B球殼上的凈電荷量，故 QB = 0
所以 QA = －
q
☆學(xué)員討論：A殼的各處電勢(shì)均為零，我們的方程能不能針對(duì)A殼表面上的某點(diǎn)去列？（答：不能，非均勻帶電球殼的球心以外的點(diǎn)不能應(yīng)用定式！）
基于剛才的討論，求B的電勢(shì)時(shí)也只能求B的球心的電勢(shì)（獨(dú)立的B殼是等勢(shì)體，球心電勢(shì)即為所求）——
UB = k
+ k
〖答〗（1）QA = －
q ；（2）UB = k
(1－
) 。
【物理情形2】圖7-11中，三根實(shí)線表示三根首尾相連的等長絕緣細(xì)棒，每根棒上的電荷分布情況與絕緣棒都換成導(dǎo)體棒時(shí)完全相同。點(diǎn)A是Δabc的中心，點(diǎn)B則與A相對(duì)bc棒對(duì)稱，且已測(cè)得它們的電勢(shì)分別為UA和UB 。試問：若將ab棒取走，A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)將變?yōu)槎嗌伲?/p>
【模型分析】由于細(xì)棒上的電荷分布既不均勻、三根細(xì)棒也沒有構(gòu)成環(huán)形，故前面的定式不能直接應(yīng)用。若用元段分割→疊加，也具有相當(dāng)?shù)睦щy。所以這里介紹另一種求電勢(shì)的方法。
每根細(xì)棒的電荷分布雖然復(fù)雜，但相對(duì)各自的中點(diǎn)必然是對(duì)稱的，而且三根棒的總電量、分布情況彼此必然相同。這就意味著：①三棒對(duì)A點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)都相同（可設(shè)為U1）；②ab棒、ac棒對(duì)B點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)相同（可設(shè)為U2）；③bc棒對(duì)A、B兩點(diǎn)的貢獻(xiàn)相同（為U1）。
所以，取走ab前 3U1 = UA
2U2 + U1 = UB
取走ab后，因三棒是絕緣體，電荷分布不變，故電勢(shì)貢獻(xiàn)不變，所以
UA′= 2U1
UB′= U1 + U2
【答案】UA′= 
UA ；UB′= 
UA + 
UB 。
〖模型變換〗正四面體盒子由彼此絕緣的四塊導(dǎo)體板構(gòu)成，各導(dǎo)體板帶電且電勢(shì)分別為U1 、U2 、U3和U4 ，則盒子中心點(diǎn)O的電勢(shì)U等于多少？
〖解說〗此處的四塊板子雖然位置相對(duì)O點(diǎn)具有對(duì)稱性，但電量各不相同，因此對(duì)O點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)也不相同，所以應(yīng)該想一點(diǎn)辦法——
我們用“填補(bǔ)法”將電量不對(duì)稱的情形加以改觀：先將每一塊導(dǎo)體板復(fù)制三塊，作成一個(gè)正四面體盒子，然后將這四個(gè)盒子位置重合地放置——構(gòu)成一個(gè)有四層壁的新盒子。在這個(gè)新盒子中，每個(gè)壁的電量將是完全相同的（為原來四塊板的電量之和）、電勢(shì)也完全相同（為U1 + U2 + U3 + U4），新盒子表面就構(gòu)成了一個(gè)等勢(shì)面、整個(gè)盒子也是一個(gè)等勢(shì)體，故新盒子的中心電勢(shì)為
U′= U1 + U2 + U3 + U4
最后回到原來的單層盒子，中心電勢(shì)必為 U = 
U′
〖答〗U = 
（U1 + U2 + U3 + U4）。
☆學(xué)員討論：剛才的這種解題思想是否適用于“物理情形2”？（答：不行，因?yàn)槿切胃鬟吷想妱?shì)雖然相等，但中點(diǎn)的電勢(shì)和邊上的并不相等。）
〖反饋練習(xí)〗電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面半徑為R ，CD為通過半球頂點(diǎn)C和球心O的軸線，如圖7-12所示。P、Q為CD軸線上相對(duì)O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，已知P點(diǎn)的電勢(shì)為UP ，試求Q點(diǎn)的電勢(shì)UQ 。
〖解說〗這又是一個(gè)填補(bǔ)法的應(yīng)用。將半球面補(bǔ)成完整球面，并令右邊內(nèi)、外層均勻地帶上電量為q的電荷，如圖7-12所示。
從電量的角度看，右半球面可以看作不存在，故這時(shí)P、Q的電勢(shì)不會(huì)有任何改變。
而換一個(gè)角度看，P、Q的電勢(shì)可以看成是兩者的疊加：①帶電量為2q的完整球面；②帶電量為－q的半球面。
考查P點(diǎn)，UP = k
+ U半球面
其中 U半球面顯然和為填補(bǔ)時(shí)Q點(diǎn)的電勢(shì)大小相等、符號(hào)相反，即 U半球面= －UQ
以上的兩個(gè)關(guān)系已經(jīng)足以解題了。
〖答〗UQ = k
－ UP 。
【物理情形3】如圖7-13所示，A、B兩點(diǎn)相距2L ，圓弧
是以B為圓心、L為半徑的半圓。A處放有電量為q的電荷，B處放有電量為－q的點(diǎn)電荷。試問：（1）將單位正電荷從O點(diǎn)沿
移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力對(duì)它做了多少功？（2）將單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB的延長線移到無窮遠(yuǎn)處去，電場(chǎng)力對(duì)它做多少功？
【模型分析】電勢(shì)疊加和關(guān)系WAB = q（UA － UB）= qUAB的基本應(yīng)用。
UO = k
+ k
= 0
UD = k
+ k
= －
U∞ = 0
再用功與電勢(shì)的關(guān)系即可。
【答案】（1）
；（2）
。
【相關(guān)應(yīng)用】在不計(jì)重力空間，有A、B兩個(gè)帶電小球，電量分別為q1和q2 ，質(zhì)量分別為m1和m2 ，被固定在相距L的兩點(diǎn)。試問：（1）若解除A球的固定，它能獲得的最大動(dòng)能是多少？（2）若同時(shí)解除兩球的固定，它們各自的獲得的最大動(dòng)能是多少？（3）未解除固定時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)的靜電勢(shì)能是多少？
【解說】第（1）問甚間；第（2）問在能量方面類比反沖裝置的能量計(jì)算，另啟用動(dòng)量守恒關(guān)系；第（3）問是在前兩問基礎(chǔ)上得出的必然結(jié)論…（這里就回到了一個(gè)基本的觀念斧正：勢(shì)能是屬于場(chǎng)和場(chǎng)中物體的系統(tǒng)，而非單純屬于場(chǎng)中物體——這在過去一直是被忽視的。在兩個(gè)點(diǎn)電荷的環(huán)境中，我們通常說“兩個(gè)點(diǎn)電荷的勢(shì)能”是多少。）
【答】（1）k
；（2）Ek1 = 
k
，Ek2 = 
k
；（3）k
。
〖思考〗設(shè)三個(gè)點(diǎn)電荷的電量分別為q1 、q2和q3 ，兩兩相距為r12 、r23和r31 ，則這個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電勢(shì)能是多少？
〖解〗略。
〖答〗k（
+
+
）。
〖反饋應(yīng)用〗如圖7-14所示，三個(gè)帶同種電荷的相同金屬小球，每個(gè)球的質(zhì)量均為m 、電量均為q ，用長度為L的三根絕緣輕繩連接著，系統(tǒng)放在光滑、絕緣的水平面上�，F(xiàn)將其中的一根繩子剪斷，三個(gè)球?qū)㈤_始運(yùn)動(dòng)起來，試求中間這個(gè)小球的最大速度。
〖解〗設(shè)剪斷的是1、3之間的繩子，動(dòng)力學(xué)分析易知，2球獲得最大動(dòng)能時(shí)，1、2之間的繩子與2、3之間的繩子剛好應(yīng)該在一條直線上。而且由動(dòng)量守恒知，三球不可能有沿繩子方向的速度。設(shè)2球的速度為v ，1球和3球的速度為v′，則
動(dòng)量關(guān)系 mv + 2m v′= 0
能量關(guān)系 3k
= 2 k
+ k
+ 
mv2 + 
2m
解以上兩式即可的v值。
〖答〗v = q
。
三、電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)
【物理情形】兩塊平行放置的很大的金屬薄板A和B，面積都是S ，間距為d（d遠(yuǎn)小于金屬板的線度），已知A板帶凈電量+Q1 ，B板帶盡電量+Q2 ，且Q2＜Q1 ，試求：（1）兩板內(nèi)外表面的電量分別是多少；（2）空間各處的場(chǎng)強(qiáng)；（3）兩板間的電勢(shì)差。
【模型分析】由于靜電感應(yīng)，A、B兩板的四個(gè)平面的電量將呈現(xiàn)一定規(guī)律的分布（金屬板雖然很薄，但內(nèi)部合場(chǎng)強(qiáng)為零的結(jié)論還是存在的）；這里應(yīng)注意金屬板“很大”的前提條件，它事實(shí)上是指物理無窮大，因此，可以應(yīng)用無限大平板的場(chǎng)強(qiáng)定式。
為方便解題，做圖7-15，忽略邊緣效應(yīng)，四個(gè)面的電荷分布應(yīng)是均勻的，設(shè)四個(gè)面的電荷面密度分別為σ1 、σ2 、σ3和σ4 ，顯然
（σ1 + σ2）S = Q1
（σ3 + σ4）S = Q2
A板內(nèi)部空間場(chǎng)強(qiáng)為零，有 2πk（σ1 ? σ2 ? σ3 ? σ4）= 0
A板內(nèi)部空間場(chǎng)強(qiáng)為零，有 2πk（σ1 + σ2 + σ3 ? σ4）= 0
解以上四式易得 σ1 = σ4 = 
σ2 = ?σ3 = 
有了四個(gè)面的電荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空間的場(chǎng)強(qiáng)就好求了〔如EⅡ =2πk（σ1 + σ2 ? σ3 ? σ4）= 2πk
〕。
最后，UAB = EⅡd
【答案】（1）A板外側(cè)電量
、A板內(nèi)側(cè)電量
，B板內(nèi)側(cè)電量?
、B板外側(cè)電量
；（2）A板外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)2πk
，方向垂直A板向外，A、B板之間空間場(chǎng)強(qiáng)2πk
，方向由A垂直指向B，B板外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)2πk
，方向垂直B板向外；（3）A、B兩板的電勢(shì)差為2πkd
，A板電勢(shì)高。
〖學(xué)員思考〗如果兩板帶等量異號(hào)的凈電荷，兩板的外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)等于多少？（答：為零。）
〖學(xué)員討論〗（原模型中）作為一個(gè)電容器，它的“電量”是多少（答：
）？如果在板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)，是否會(huì)影響四個(gè)面的電荷分布（答：不會(huì)）？是否會(huì)影響三個(gè)空間的場(chǎng)強(qiáng)（答：只會(huì)影響Ⅱ空間的場(chǎng)強(qiáng)）？
〖學(xué)員討論〗（原模型中）我們是否可以求出A、B兩板之間的靜電力？〔答：可以；以A為對(duì)象，外側(cè)受力
·
（方向相左），內(nèi)側(cè)受力
·
（方向向右），它們合成即可，結(jié)論為F = 
Q1Q2 ，排斥力�！�
【模型變換】如圖7-16所示，一平行板電容器，極板面積為S ，其上半部為真空，而下半部充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì)，當(dāng)兩極板分別帶上+Q和?Q的電量后，試求：（1）板上自由電荷的分布；（2）兩板之間的場(chǎng)強(qiáng)；（3）介質(zhì)表面的極化電荷。
【解說】電介質(zhì)的充入雖然不能改變內(nèi)表面的電量總數(shù)，但由于改變了場(chǎng)強(qiáng)，故對(duì)電荷的分布情況肯定有影響。設(shè)真空部分電量為Q1 ，介質(zhì)部分電量為Q2 ，顯然有
Q1 + Q2 = Q
兩板分別為等勢(shì)體，將電容器看成上下兩個(gè)電容器的并聯(lián)，必有
U1 = U2 即 
= 
，即 
= 
解以上兩式即可得Q1和Q2 。
場(chǎng)強(qiáng)可以根據(jù)E = 
關(guān)系求解，比較常規(guī)（上下部分的場(chǎng)強(qiáng)相等）。
上下部分的電量是不等的，但場(chǎng)強(qiáng)居然相等，這怎么解釋？從公式的角度看，E = 2πkσ（單面平板），當(dāng)k 、σ同時(shí)改變，可以保持E不變，但這是一種結(jié)論所展示的表象。從內(nèi)在的角度看，k的改變正是由于極化電荷的出現(xiàn)所致，也就是說，極化電荷的存在相當(dāng)于在真空中形成了一個(gè)新的電場(chǎng)，正是這個(gè)電場(chǎng)與自由電荷（在真空中）形成的電場(chǎng)疊加成為E2 ，所以
E2 = 4πk（σ ? σ′）= 4πk（
? 
）
請(qǐng)注意：①這里的σ′和Q′是指極化電荷的面密度和總量；② E = 4πkσ的關(guān)系是由兩個(gè)帶電面疊加的合效果。
【答案】（1）真空部分的電量為
Q ，介質(zhì)部分的電量為
Q ；（2）整個(gè)空間的場(chǎng)強(qiáng)均為
；（3）
Q 。
〖思考應(yīng)用〗一個(gè)帶電量為Q的金屬小球，周圍充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì)，試求與與導(dǎo)體表面接觸的介質(zhì)表面的極化電荷量。
〖解〗略。
〖答〗Q′= 
Q 。
四、電容器的相關(guān)計(jì)算
【物理情形1】由許多個(gè)電容為C的電容器組成一個(gè)如圖7-17所示的多級(jí)網(wǎng)絡(luò)，試問：（1）在最后一級(jí)的右邊并聯(lián)一個(gè)多大電容C′，可使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的A、B兩端電容也為C′？（2）不接C′，但無限地增加網(wǎng)絡(luò)的級(jí)數(shù)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)A、B兩端的總電容是多少？
【模型分析】這是一個(gè)練習(xí)電容電路簡化基本事例。
第（1）問中，未給出具體級(jí)數(shù)，一般結(jié)論應(yīng)適用特殊情形：令級(jí)數(shù)為1 ，于是
+ 
= 
解C′即可。
第（2）問中，因?yàn)椤盁o限”，所以“無限加一級(jí)后仍為無限”，不難得出方程
+ 
= 
【答案】（1）
C ；（2）
C 。
【相關(guān)模型】在圖7-18所示的電路中，已知C1 = C2 = C3 = C9 = 1μF ，C4 = C5 = C6 = C7 = 2μF ，C8 = C10 = 3μF ，試求A、B之間的等效電容。
【解說】對(duì)于既非串聯(lián)也非并聯(lián)的電路，需要用到一種“Δ→Y型變換”，參見圖7-19，根據(jù)三個(gè)端點(diǎn)之間的電容等效，容易得出定式——
Δ→Y型：Ca = 
Cb = 
Cc = 
Y→Δ型：C1 = 
C2 = 
C3 = 
有了這樣的定式后，我們便可以進(jìn)行如圖7-20所示的四步電路簡化（為了方便，電容不宜引進(jìn)新的符號(hào)表達(dá)，而是直接將變換后的量值標(biāo)示在圖中）——
【答】約2.23μF 。
【物理情形2】如圖7-21所示的電路中，三個(gè)電容器完全相同，電源電動(dòng)勢(shì)ε1 = 3.0V ，ε2 = 4.5V，開關(guān)K1和K2接通前電容器均未帶電，試求K1和K2接通后三個(gè)電容器的電壓Uao 、Ubo和Uco各為多少。
【解說】這是一個(gè)考查電容器電路的基本習(xí)題，解題的關(guān)鍵是要抓與o相連的三塊極板（俗稱“孤島”）的總電量為零。
電量關(guān)系：
+
+
= 0
電勢(shì)關(guān)系：ε1 = Uao + Uob = Uao ? Ubo
ε2 = Ubo + Uoc = Ubo ? Uco
解以上三式即可。
【答】Uao = 3.5V ，Ubo = 0.5V ，Uco = ?4.0V 。
【伸展應(yīng)用】如圖7-22所示，由n個(gè)單元組成的電容器網(wǎng)絡(luò)，每一個(gè)單元由三個(gè)電容器連接而成，其中有兩個(gè)的電容為3C ，另一個(gè)的電容為3C 。以a、b為網(wǎng)絡(luò)的輸入端，a′、b′為輸出端，今在a、b間加一個(gè)恒定電壓U ，而在a′b′間接一個(gè)電容為C的電容器，試求：（1）從第k單元輸入端算起，后面所有電容器儲(chǔ)存的總電能；（2）若把第一單元輸出端與后面斷開，再除去電源，并把它的輸入端短路，則這個(gè)單元的三個(gè)電容器儲(chǔ)存的總電能是多少？
【解說】這是一個(gè)結(jié)合網(wǎng)絡(luò)計(jì)算和“孤島現(xiàn)象”的典型事例。
（1）類似“物理情形1”的計(jì)算，可得 C總 = Ck = C
所以，從輸入端算起，第k單元后的電壓的經(jīng)驗(yàn)公式為 Uk = 
再算能量儲(chǔ)存就不難了。
（2）斷開前，可以算出第一單元的三個(gè)電容器、以及后面“系統(tǒng)”的電量分配如圖7-23中的左圖所示。這時(shí)，C1的右板和C2的左板（或C2的下板和C3的右板）形成“孤島”。此后，電容器的相互充電過程（C3類比為“電源”）滿足——
電量關(guān)系：Q1′= Q3′
Q2′+ Q3′= 
電勢(shì)關(guān)系：
+ 
= 
從以上三式解得 Q1′= Q3′= 
，Q2′= 
，這樣系統(tǒng)的儲(chǔ)能就可以用
得出了。
【答】（1）Ek = 
；（2）
。
〖學(xué)員思考〗圖7-23展示的過程中，始末狀態(tài)的電容器儲(chǔ)能是否一樣？（答：不一樣；在相互充電的過程中，導(dǎo)線消耗的焦耳熱已不可忽略。）
☆第七部分完☆
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科目：高中物理 來源： 題型：閱讀理解
第一部分 力＆物體的平衡
第一講 力的處理
一、矢量的運(yùn)算
1、加法
表達(dá)：
+ 
= 
。
名詞：
為“和矢量”。
法則：平行四邊形法則。如圖1所示。
和矢量大�。篶 = 
，其中α為
和
的夾角。
和矢量方向：
在
、
之間，和
夾角β= arcsin
2、減法
表達(dá)：
= 
－
。
名詞：
為“被減數(shù)矢量”，
為“減數(shù)矢量”，
為“差矢量”。
法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn)，然后連接兩時(shí)量末端，指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量，即是差矢量。
差矢量大�。篴 = 
，其中θ為
和
的夾角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一條直線上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。
例題：已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R ，周期為T ，求它在
T內(nèi)和在
T內(nèi)的平均加速度大小。
解說：如圖3所示，A到B點(diǎn)對(duì)應(yīng)
T的過程，A到C點(diǎn)對(duì)應(yīng)
T的過程。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為
、
和
。
根據(jù)加速度的定義 
= 
得：
= 
，
= 
由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個(gè)差矢量 
= 
－
，
= 
－
，根據(jù)三角形法則，它們?cè)趫D3中的大小、方向已繪出（
的“三角形”已被拉伸成一條直線）。
本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然：
= 
= 
= 
，且：
= 
= 
，
= 2
= 
所以：
= 
= 
= 
，
= 
= 
= 
。
（學(xué)生活動(dòng)）觀察與思考：這兩個(gè)加速度是否相等，勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)？
答：否；不是。
3、乘法
矢量的乘法有兩種：叉乘和點(diǎn)乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。
⑴ 叉乘
表達(dá)：
×
= 
名詞：
稱“矢量的叉積”，它是一個(gè)新的矢量。
叉積的大小：c = absinα，其中α為
和
的夾角。意義：
的大小對(duì)應(yīng)由
和
作成的平行四邊形的面積。
叉積的方向：垂直
和
確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。
顯然，
×
≠
×
，但有：
×
= －
×
⑵ 點(diǎn)乘
表達(dá)：
·
= c
名詞：c稱“矢量的點(diǎn)積”，它不再是一個(gè)矢量，而是一個(gè)標(biāo)量。
點(diǎn)積的大�。篶 = abcosα，其中α為
和
的夾角。
二、共點(diǎn)力的合成
1、平行四邊形法則與矢量表達(dá)式
2、一般平行四邊形的合力與分力的求法
余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小
正弦定理解方向
三、力的分解
1、按效果分解
2、按需要——正交分解
第二講 物體的平衡
一、共點(diǎn)力平衡
1、特征：質(zhì)心無加速度。
2、條件：Σ
= 0 ，或 
= 0 ，
= 0
例題：如圖5所示，長為L 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示，求橫桿的重心位置。
解說：直接用三力共點(diǎn)的知識(shí)解題，幾何關(guān)系比較簡單。
答案：距棒的左端L/4處。
（學(xué)生活動(dòng)）思考：放在斜面上的均質(zhì)長方體，按實(shí)際情況分析受力，斜面的支持力會(huì)通過長方體的重心嗎？
解：將各處的支持力歸納成一個(gè)N ，則長方體受三個(gè)力（G 、f 、N）必共點(diǎn)，由此推知，N不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)，N就過重心了）。
答：不會(huì)。
二、轉(zhuǎn)動(dòng)平衡
1、特征：物體無轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。
2、條件：Σ
= 0 ，或ΣM+ =ΣM-
如果物體靜止，肯定會(huì)同時(shí)滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。
3、非共點(diǎn)力的合成
大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。
作用點(diǎn)：先假定一個(gè)等效作用點(diǎn)，然后讓所有的平行力對(duì)這個(gè)作用點(diǎn)的和力矩為零。
第三講 習(xí)題課
1、如圖7所示，在固定的、傾角為α斜面上，有一塊可以轉(zhuǎn)動(dòng)的夾板（β不定），夾板和斜面夾著一個(gè)質(zhì)量為m的光滑均質(zhì)球體，試求：β取何值時(shí)，夾板對(duì)球的彈力最小。
解說：法一，平行四邊形動(dòng)態(tài)處理。
對(duì)球體進(jìn)行受力分析，然后對(duì)平行四邊形中的矢量G和N1進(jìn)行平移，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖8的左圖和中圖所示。
由于G的大小和方向均不變，而N1的方向不可變，當(dāng)β增大導(dǎo)致N2的方向改變時(shí)，N2的變化和N1的方向變化如圖8的右圖所示。
顯然，隨著β增大，N1單調(diào)減小，而N2的大小先減小后增大，當(dāng)N2垂直N1時(shí)，N2取極小值，且N2min = Gsinα。
法二，函數(shù)法。
看圖8的中間圖，對(duì)這個(gè)三角形用正弦定理，有：
= 
，即：N2 = 
，β在0到180°之間取值，N2的極值討論是很容易的。
答案：當(dāng)β= 90°時(shí)，甲板的彈力最小。
2、把一個(gè)重為G的物體用一個(gè)水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F(xiàn)隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖9所示，則在t = 0開始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個(gè)？
解說：靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問題和準(zhǔn)靜態(tài)過程的問題，但本題是一個(gè)例外。物體在豎直方向的運(yùn)動(dòng)先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時(shí)的難點(diǎn)。
靜力學(xué)的知識(shí)，本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。
水平方向合力為零，得：支持力N持續(xù)增大。
物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力f = μN(yùn) ，必持續(xù)增大。但物體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ，與N沒有關(guān)系。
對(duì)運(yùn)動(dòng)過程加以分析，物體必有加速和減速兩個(gè)過程。據(jù)物理常識(shí)，加速時(shí)，f ＜ G ，而在減速時(shí)f ＞ G 。
答案：B 。
3、如圖11所示，一個(gè)重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上，另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k ，自由長度為L（L＜2R），一端固定在大圓環(huán)的頂點(diǎn)A ，另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時(shí)位于大環(huán)上的B點(diǎn)。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。
解說：平行四邊形的三個(gè)矢量總是可以平移到一個(gè)三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學(xué)矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。
分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F表示彈簧彈力，N表示大環(huán)的支持力。
（學(xué)生活動(dòng)）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）
容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以：
⑴
由胡克定律：F = k（
- R） ⑵
幾何關(guān)系：
= 2Rcosθ ⑶
解以上三式即可。
答案：arccos
。
（學(xué)生活動(dòng)）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù)k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？
答：變��；不變。
（學(xué)生活動(dòng)）反饋練習(xí)：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖13所示的A位置開始緩慢拉至B位置。試判斷：在此過程中，繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化？
解：和上題完全相同。
答：T變小，N不變。
4、如圖14所示，一個(gè)半徑為R的非均質(zhì)圓球，其重心不在球心O點(diǎn)，先將它置于水平地面上，平衡時(shí)球面上的A點(diǎn)和地面接觸；再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上，平衡時(shí)球面上的B點(diǎn)與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。
解說：練習(xí)三力共點(diǎn)的應(yīng)用。
根據(jù)在平面上的平衡，可知重心C在OA連線上。根據(jù)在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點(diǎn)，可以畫出重心的具體位置。幾何計(jì)算比較簡單。
答案：
R 。
（學(xué)生活動(dòng)）反饋練習(xí)：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？
解：三力共點(diǎn)知識(shí)應(yīng)用。
答：
。
4、兩根等長的細(xì)線，一端拴在同一懸點(diǎn)O上，另一端各系一個(gè)小球，兩球的質(zhì)量分別為m1和m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為45和30°，如圖15所示。則m1 : m2??為多少？
解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問題。
對(duì)兩球進(jìn)行受力分析，并進(jìn)行矢量平移，如圖16所示。
首先注意，圖16中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設(shè)為α。
而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設(shè)為F 。
對(duì)左邊的矢量三角形用正弦定理，有：
= 
①
同理，對(duì)右邊的矢量三角形，有：
= 
②
解①②兩式即可。
答案：1 ：
。
（學(xué)生活動(dòng)）思考：解本題是否還有其它的方法？
答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點(diǎn)看成轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對(duì)O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。
應(yīng)用：若原題中繩長不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它條件不變，m1與m2的比值又將是多少？
解：此時(shí)用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜（多一個(gè)正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。
答：2 ：3
。
5、如圖17所示，一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長為L的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時(shí)，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？
解說：這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。
以球和桿為對(duì)象，研究其對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：
f R + N（R + L）= G（R + L） ①
球和板已相對(duì)滑動(dòng)，故：f = μN(yùn) ②
解①②可得：f = 
再看木板的平衡，F(xiàn) = f 。
同理，木板插進(jìn)去時(shí)，球體和木板之間的摩擦f′= 
= F′。
答案：
。
第四講 摩擦角及其它
一、摩擦角
1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。
2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用φm表示。
此時(shí)，要么物體已經(jīng)滑動(dòng)，必有：φm = arctgμ（μ為動(dòng)摩擦因素），稱動(dòng)摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，必有：φms = arctgμs（μs為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為φm = φms 。
3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時(shí)更方便、更簡捷。
二、隔離法與整體法
1、隔離法：當(dāng)物體對(duì)象有兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)，有必要各個(gè)擊破，逐個(gè)講每個(gè)個(gè)體隔離開來分析處理，稱隔離法。
在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。
2、整體法：當(dāng)各個(gè)體均處于平衡狀態(tài)時(shí)，我們可以不顧個(gè)體的差異而講多個(gè)對(duì)象看成一個(gè)整體進(jìn)行分析處理，稱整體法。
應(yīng)用整體法時(shí)應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。
三、應(yīng)用
1、物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時(shí)，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動(dòng)摩擦因素μ。
解說：這是一個(gè)能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目�？梢酝ㄟ^不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。
法一，正交分解。（學(xué)生分析受力→列方程→得結(jié)果。）
法二，用摩擦角解題。
引進(jìn)全反力R ，對(duì)物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φm指摩擦角。
再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個(gè)頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φm = 15°。
最后，μ= tgφm 。
答案：0.268 。
（學(xué)生活動(dòng)）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進(jìn)的最小F值是多少？
解：見圖18，右圖中虛線的長度即Fmin ，所以，F(xiàn)min = Gsinφm 。
答：Gsin15°（其中G為物體的重量）。
2、如圖19所示，質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)，而斜面體始終靜止。已知斜面的質(zhì)量M = 10kg ，傾角為30°，重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對(duì)斜面體的摩擦力大小。
解說：
本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。
法一，隔離法。簡要介紹……
法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但從平衡的角度看，它們是完全等價(jià)的，可以看成一個(gè)整體。
做整體的受力分析時(shí)，內(nèi)力不加考慮。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。
答案：26.0N 。
（學(xué)生活動(dòng)）地面給斜面體的支持力是多少？
解：略。
答：135N 。
應(yīng)用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質(zhì)量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動(dòng)，就必須施加一個(gè)大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個(gè)F的大小和方向。
解說：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動(dòng)用一切可能的工具解題。
法一：隔離法。
由第一個(gè)物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ
對(duì)第二個(gè)物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對(duì)相互作用力只用兩個(gè)字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。
對(duì)滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——
Fx = f + mgsinθ
Fy + mgcosθ= N
且 f = μN(yùn) = Ntgθ
綜合以上三式得到：
Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①
對(duì)斜面體，只看水平方向平衡就行了——
P = fcosθ+ Nsinθ
即：4mgsinθcosθ=μN(yùn)cosθ+ Nsinθ
代入μ值，化簡得：Fy = mgcosθ ②
②代入①可得：Fx = 3mgsinθ
最后由F =
解F的大小，由tgα= 
解F的方向（設(shè)α為F和斜面的夾角）。
答案：大小為F = mg
，方向和斜面夾角α= arctg(
)指向斜面內(nèi)部。
法二：引入摩擦角和整體法觀念。
仍然沿用“法一”中關(guān)于F的方向設(shè)置（見圖21中的α角）。
先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P ⑴
再隔離滑塊，分析受力時(shí)引進(jìn)全反力R和摩擦角φ，由于簡化后只有三個(gè)力（R、mg和F），可以將矢量平移后構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖22所示。
在圖22右邊的矢量三角形中，有：
= 
= 
⑵
注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶
解⑴⑵⑶式可得F和α的值。
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