Question

18．如圖所示的是大型露天游樂園中的過山車．把過山車從很高的軌道一側(cè)的頂端由靜止釋放，它就向下運動，到達底部后又沖上環(huán)形軌道，使乘客頭朝下通過最高點，再沿環(huán)形軌道到底部，最后沖上軌道另一端．我們抽象成右圖模型，小球從高h處滾下，進入圓形軌道后沿軌道運動．若環(huán)形軌道的半徑為R=6.4m，過山車及乘客的總質(zhì)量為1000kg，不考慮摩擦等阻力，重力加速度取g=10m/s²．
（1）你認為過山車至少要從h為多高的軌道頂端釋放才能順利通過圓形軌道的最高點？
（2）恰以這個高度釋放的過山車經(jīng)過最低點時對軌道的壓力是多大？

Answer 1

分析 （1）對過山車在最高點應用牛頓第二定律求得速度范圍，然后對整個運動過程應用機械能守恒求得高度范圍；
（2）通過機械能守恒求得在最低點的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力．

解答 解：（1）要順利通過圓形軌道的最高點，那么在最高點應用牛頓第二定律可得：$\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}≥mg$；
過山車運動過程只有重力做功，機械能守恒，故有$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}≥\frac{1}{2}mgR$，所以，$h≥\frac{5}{2}R=16m$；
（2）恰以這個高度釋放的過山車經(jīng)過最低點時，應用機械能守恒可得：$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$；
那么，對過山車在最低點應用牛頓第二定律可得：過山車受到的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}=mg+\frac{2h}{R}mg=6mg=6×1{0}^{4}N$；
故由牛頓第三定律可得：恰以這個高度釋放的過山車經(jīng)過最低點時對軌道的壓力是6×10⁴N；
答：（1）過山車至少要從h為16m的軌道頂端釋放才能順利通過圓形軌道的最高點；
（2）恰以這個高度釋放的過山車經(jīng)過最低點時對軌道的壓力是6×10⁴N．

點評 經(jīng)典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．