Question

8．如圖1所示，輕質彈簧原長為2L，將彈簧豎直放置在水平地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為L．現(xiàn)將該彈簧水平放置（如圖2所示，彈簧圖略縮�。�，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD在豎直方向上，如圖所示．物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度為L處，然后釋放P，P開始沿軌道運動，重力加速度為g．

（1）求當彈簧壓縮至長度為三時的彈性勢能E_p；
（2）若P的質量為m，求物體離開圓軌道后落至AB上的位置與B點之間的距離s；
（3）為使物塊P滑上圓軌道后又能沿圓軌道滑回，求物塊P的質量取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先研究彈簧豎直的情況，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能；
（2）彈簧如圖放置時，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢能相等．由能量守恒定律求出物體P滑到B點時的速度，由機械能守恒定律求出物體P到達D點的速度．物體P離開D點后做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律求水平距離；
（3）根據(jù)能量守恒定律列式和臨界條件求解．

解答 解：（1）由機械能守恒定律知，彈簧長度為L時的彈性勢能為E_P，
所以有：E_P=5mgL
（2）設P到達B點時的速度大小為v_B，由能量守恒定律得：E_P=$\frac{1}{2}$mv_B²+μmg（5L-L）
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=$\sqrt{6gL}$
設P滑到D點時的速度為v_D，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_D²+2mgL
解得：v_D=$\sqrt{2gL}$
物體從D點以速度v_D水平射出，設P落回到軌道AB所需時間為t
豎直方向上：2L=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：s=v_Dt
聯(lián)立解得：s=2$\sqrt{2L}$
（3）設P的質量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達B點時的速度不能小于0，
則有：5mgL＞4μMgL
要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C，
則有：$\frac{1}{2}$Mv_B²≤MgL
由能量關系有：E_P=$\frac{1}{2}$Mv_B²+4μMgL
解得：$\frac{5}{3}$m≤M≤$\frac{5}{2}$m
答：（1）當彈簧壓縮至長度為L時的彈性勢能為5mgL；
（2）物體離開圓軌道后落至AB上的位置與B點之間的距離為2$\sqrt{2L}$；
（3）物塊P的質量取值范圍為$\frac{5}{3}$m≤M≤$\frac{5}{2}$m．

點評 解決本題時要抓住彈簧的形變量相等時彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉化，分段運用能量守恒定律列式是關鍵．