Question

（2010?洛陽模擬）如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，兩板間電壓可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．靜止的帶電粒子帶電量為+q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從點(diǎn)P經(jīng)電場加速后，從小孔 Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，CD為磁場邊界上的一絕緣板，它與N板的夾角為a=45°，孔Q到板的下端C的距離為L．當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上．求：
（1）兩板間電壓的最大值U_m；
（2）CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長度x；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間t_m．

Answer 1

分析：（1）粒子恰好垂直打在CD板上，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡，可以求得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，由半徑公式可以求得電壓的大��；
（2）當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好與CD板相切時(shí)，這是粒子能達(dá)到的最下邊的邊緣，在由幾何關(guān)系可以求得被粒子打中的區(qū)域的長度．
（3）打在QE間的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，均為半周期，根據(jù)周期公式即可求解．

解答：解：（1）M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，
所以圓心在C點(diǎn)，CH=QC=L，故半徑R₁=L
又因qvB=m

v12

R1

qU_m=

1

2

mv12
所以U_m=

qB2L2

2m

（2）設(shè)軌跡與CD板相切于K點(diǎn)，半徑為R₂，在△AKC中：
sin45°=

R2

L-R2

所以R₂=（

2

-1）L
即KC長等于R₂=（

2

-1）L
所以CD板上可能被粒子打中的區(qū)域即為HK的長度，
x=HK=R₁-R₂=L-（

2

-1）L=（2-

2

）L
（3）打在QE間的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，均為半周期：
T=

2πm

qB

所以tm=

1

2

T=

πm

qB

答：（1）兩板間電壓的最大值U_m為

qB2L2

2m

；
（2）CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長度x為（2-

2

）L；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間t_m為

πm

qB

．

點(diǎn)評：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．