Question

2．估算地球的質(zhì)量和密度，已知地球的半徑R，自轉(zhuǎn)周期T，萬有引力恒量G，及以下條件之一：
（1）地球表面的重力加速度g；
（2）環(huán)繞地球表面作圓周運動的衛(wèi)星的周期T₁；
（3）繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的高度為h，周期T₂；
（4）繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的高度為h，速度為v．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)天體繞中心天體運行的模型，由旋轉(zhuǎn)天體公轉(zhuǎn)半徑和周期求出中心天體的質(zhì)量分析：
由衛(wèi)星繞地球運行的周期T和軌道板，能求出地球的質(zhì)量．
根據(jù)萬有引力等于重力求出地球的質(zhì)量
根據(jù)密度公式求解．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力等于重力有
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=R
環(huán)繞地球表面作圓周運動的衛(wèi)星的周期T₁；
M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$，
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=h+R
繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的高度為h，周期T₂；
M=$\frac{{{4π}^{2}（R+h）}^{3}}{{GT}_{2}^{2}}$，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GR}^{3}T}_{2}^{2}}$
（4）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$m$\frac{{v}^{2}}{r}$，r=h+R
繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的高度為h，速度為v．
M=$\frac{{（R+h）v}^{2}}{G}$
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{{3（R+h）v}^{2}}{4π{GR}^{3}}$
答：（1）地球表面的重力加速度g，地球的質(zhì)量和密度分別是$\frac{{gR}^{2}}{G}$和$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）環(huán)繞地球表面作圓周運動的衛(wèi)星的周期T₁，地球的質(zhì)量和密度分別是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$和$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$；
（3）繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的高度為h，周期T₂，地球的質(zhì)量和密度分別是$\frac{{{4π}^{2}（R+h）}^{3}}{{GT}_{2}^{2}}$和$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GR}^{3}T}_{2}^{2}}$；
（4）繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的高度為h，速度為v，地球的質(zhì)量和密度分別是$\frac{{（R+h）v}^{2}}{G}$和$\frac{{3（R+h）v}^{2}}{4π{GR}^{3}}$．

點評 計算中心天體質(zhì)量的方法主要有：地球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供環(huán)繞天體的向心力，據(jù)此列式分析即可，關(guān)鍵是掌握方法．