Question

15．在豎直平面內(nèi)建立一平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸沿水平方向，如圖甲所示．第二象限內(nèi)有一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E₁．坐標(biāo)系的第一、四象限內(nèi)有一正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)交變磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)E₂=$\frac{1}{2}$E₁，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面．處在第三象限的發(fā)射裝置（圖中未畫出）豎直向上射出一個(gè)比荷$\frac{q}{m}$=10²C/kg的帶正電的粒子（可視為質(zhì)點(diǎn)），該粒子以v₀=4m/s的速度從-x上的A點(diǎn)進(jìn)入第二象限，并以v₁=8m/s速度從+y上的C點(diǎn)沿水平方向進(jìn)入第一象限．取粒子剛進(jìn)入第一象限的時(shí)刻為0時(shí)刻，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向外的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向），g=10m/s²．試求：
（1）帶電粒子運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的縱坐標(biāo)值h及電場(chǎng)強(qiáng)度E₁；
（2）+x軸上有一點(diǎn)D，OD=OC，若帶電粒子在通過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中不再越過y軸，要使其恰能沿x軸正方向通過D點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及其磁場(chǎng)的變化周期T₀；
（3）要使帶電粒子通過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中不再越過y軸，求交變磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和變化周期T₀的乘積B₀T₀應(yīng)滿足的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）將粒子在第二象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，得出兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出帶電微粒運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的縱坐標(biāo)值h及電場(chǎng)強(qiáng)度E₁；
（2）若帶電微粒在通過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中不再越過y軸，要使其恰能沿x軸正方向通過D點(diǎn)，作出粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑大小，結(jié)合幾何關(guān)系，求出磁感應(yīng)度的通項(xiàng)表達(dá)式，再根據(jù)周期的關(guān)系求出磁場(chǎng)的變化周期T₀的通項(xiàng)表達(dá)式．
（3）當(dāng)交變磁場(chǎng)周期取最大值而粒子不再越過y軸時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓心角的大小，從而求出T₀的范圍，以及B₀ T₀應(yīng)滿足的關(guān)系．

解答 解：（1）將粒子在第二象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．則有
$t=\frac{{v}_{0}}{g}=0.4s$，
$h=\frac{{v}_{0}}{2}t=0.8m$，
${a}_{x}=\frac{{v}_{1}}{t}=2g$，
qE₁=2mg，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：E₁=0.2N/C
（2）qE₂=mg，所以帶電的粒子在第一象限將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓軌道半徑為R，周期為T，則有：$q{v}_{1}{B}_{0}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
可得：$R=\frac{0.08}{{B}_{0}}$
使粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，則有：
$h=（2n）R=（2n）\frac{0.08}{{B}_{0}}$，B₀=0.2n（T）（n=1，2，3…）
$T=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
$\frac{{T}_{0}}{2}=\frac{T}{4}$，
解得：${T}_{0}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{q{B}_{0}}=\frac{π}{20n}（s）（n=1，2，3…）$
（3）當(dāng)交變磁場(chǎng)周期取最大值而粒子不再越過y軸時(shí)可作如圖運(yùn)動(dòng)情形：
由圖可知$θ=\frac{5π}{6}$，${T}_{0}≤\frac{5}{6}T=\frac{5π}{300{B}_{0}}$，
則${T}_{0}{B}_{0}≤\frac{π}{60}$
答：（1）帶電粒子運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的縱坐標(biāo)值h為0.8m，電場(chǎng)強(qiáng)度E₁為0.2N/C；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為0.2n（T）（n=1，2，3…），其磁場(chǎng)的變化周期T₀為$\frac{π}{20n}（s）（n=1，2，3…）$；
（3）交變磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和變化周期T₀的乘積B₀T₀應(yīng)滿足${T}_{0}{B}_{0}≤\frac{π}{60}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再選擇合適方法處理．對(duì)于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對(duì)于磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫出軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑．