Question

6．如圖所示，直角坐標系xOy第Ⅰ象限內(nèi)存在沿y軸負方向的勻強電場．半徑為L的圓形勻強磁場區(qū)域在第Ⅱ象限內(nèi)與x、y軸相切與C、D兩點，磁場的磁感應強度為B，方向垂直于xOy平面向外．電荷量為+q，質(zhì)量為m的粒子a從C點垂直x軸射入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰好從D點進入電場，最后從M點射出電場，在M點時其速度與x軸成60°角．保持磁場方向不變、改變磁感應強度的大小，讓另一質(zhì)量、帶電量與a均相同的粒子b也從C點垂直x軸射入磁場，其射入磁場的速率為a射入磁場速率的$\frac{2\sqrt{3}}{3}$倍，射出磁場后進入電場，已知粒子b在電場運動的過程中，離x軸最遠時的速率與粒子a在磁場中運動的速率相同，不計粒子重力，求：
（1）勻強電場的電場強度E大��；
（2）粒子b在磁場中運動時磁場的磁感應強度B′及粒子b在磁場中運動的時間t′．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動在電場中做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式聯(lián)立求解；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系及洛倫茲力提供向心力求出粒子在磁場中的速率，根據(jù)半徑公式求出磁感應強度B′，根據(jù)周期公式求周期，結(jié)合圓心角求時間

解答 解：（1）粒子在磁場中做圓周運動，由幾何關(guān)系可得其運動的半徑為：R=L
洛倫茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
粒子在電場中做類平拋運動，有：$tan60°=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$
${v}_{y}^{\;}=at$
$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
qE=ma
y=L
解得：$E=\frac{3q{B}_{\;}^{2}L}{2m}$
（2）粒子b進入電場后速度先減小，電場力對其做負功，故b進入電場時速度方向與y軸正向的夾角α的范圍是：0＜α＜90°：b離x軸最遠時速度與x軸平行，則：
$sinα=\frac{v}{\frac{2\sqrt{3}}{3}v}$，可得α=60°
設(shè)b從磁場區(qū)域的P點射出，b在磁場中運動軌跡的圓心角為θ
由幾何關(guān)系可得：θ=60°
粒子b在磁場中運動的半徑$R′=\frac{L}{tan30°}=\sqrt{3}L$
粒子在b在磁場中運動時：$qv′B′=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{R′}$
$v′=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}^{\;}$
解之得磁場的磁感應強度：$B′=\frac{mv′}{qR′}=\frac{2}{3}B$
粒子在磁場中運動的周期：$T=\frac{2πm}{qB′}$
粒子在磁場中運動的時間：$t′=\frac{θ}{360°}T$
解得：$t′=\frac{πm}{3qB′}=\frac{πm}{2qB}$
答：（1）勻強電場的電場強度E大小為$\frac{3q{B}_{\;}^{2}L}{2m}$；
（2）粒子b在磁場中運動時磁場的磁感應強度B′及粒子b在磁場中運動的時間t′為$\frac{πm}{2qB}$．

點評 帶電粒子在勻強電場中運動時，要注意應用運動的合成和分解；而在磁場中運動時為勻速圓周運動，在解題時要注意應用好平拋和圓周運動的性質(zhì)