Question

如圖的環(huán)狀軌道處于豎直面內(nèi)，它由半徑分別為R和2R的兩個(gè)半圓軌道、半徑為R的兩個(gè)四分之一圓軌道和兩根長(zhǎng)度分別為2R和4R的直軌道平滑連接而成．以水平線MN和PQ為界，空間分為三個(gè)區(qū)域，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小環(huán)穿在軌道內(nèi)，它與兩根直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（0＜μ＜1），而軌道的圓弧形部分均光滑．將小環(huán)在較長(zhǎng)的直軌道CD下端的C點(diǎn)無(wú)初速釋放（已知區(qū)域Ⅰ和Ⅱ的勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E=

2mg

q

，重力加速度為g），求：
（1）小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)速度vA的大小；
（2）小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)受到軌道壓力？
（3）若從C點(diǎn)釋放小環(huán)的同時(shí)，在區(qū)域Ⅱ再另加一垂直于軌道平面向里的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)大小為E′=

mg

q

，則小環(huán)在兩根直軌道上通過的總路程多大？

Answer 1

分析：（1）小環(huán)從C到A，洛倫茲力不做功，重力做負(fù)功，電場(chǎng)力做正功．小環(huán)對(duì)直軌道無(wú)壓力，也就不受軌道的摩擦力．根據(jù)動(dòng)能定理求解v_A．
（2）小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)，受到軌道的彈力F_N，重力mg，洛倫茲力qv_AB，電場(chǎng)力qE，四個(gè)力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道的壓力．
（3）由于0＜μ＜1，小環(huán)在直桿受到的重力與電場(chǎng)力的合力向上，大于滑動(dòng)摩擦力μmg，則小環(huán)必能通過A點(diǎn)．分三種討論研究：①小環(huán)恰好停在K點(diǎn)，②有可能在水平線PQ上方的軌道上往復(fù)若干次后，最后一次從A點(diǎn)下來恰好停在K點(diǎn)，③在D與D′點(diǎn)之間振動(dòng)，小環(huán)在D或D′點(diǎn)速度為零．滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)，根據(jù)動(dòng)能定理求解路程．

解答：解：（1）從C到A，洛倫茲力不做功，小環(huán)對(duì)直軌道無(wú)壓力，也就不受軌道的摩擦力．由動(dòng)能定理，有：
       qE?5R-mg?5R=

1

2

m

v

2 A

  可得：v_A=

10gR

  
    （2）過A點(diǎn)時(shí)，研究小環(huán)，由受力分析和牛頓第二定律，有：
     F_N+mg-qv_AB-qE=m

v 2 A

R

  解得  F_N=11mg+qB

10gR

  方向向下 
    （3）由于0＜μ＜1，小環(huán)必能通過A點(diǎn)，以后有三種可能：
①有可能第一次過了A點(diǎn)后，恰好停在K點(diǎn)，則在直軌道上通過的總路程為：S_總=4R
②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復(fù)若干次后，最后一次從A點(diǎn)下來恰好停在K點(diǎn)，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，由動(dòng)能定理，有：qE?3R-mg?3R-μqE′S_總=0   得：s_總=

3R

μ

③還可能最終在D或D′點(diǎn)速度為零（即在D與D′點(diǎn)之間振動(dòng)），由動(dòng)能定理，有：
   qE?4R-mg?4R-μqE′S_總=0得：s_總=

4R

μ

答：（1）小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)速度v_A的大小=

10gR

；
   （2）小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)受到軌道壓力為11mg+qB

10gR

，方向向下．
   （3）①有可能第一次過了A點(diǎn)后，恰好停在K點(diǎn)，S_總=4R；
        ②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復(fù)若干次后，最后一次從A點(diǎn)下來恰好停在K點(diǎn)，s_總=

3R

μ

        ③還可能最終在D或D′點(diǎn)速度為零（即在D與D′點(diǎn)之間振動(dòng)），s_總=

4R

μ

．

點(diǎn)評(píng)：本題第（1）、（2）兩問是常規(guī)題，是動(dòng)能定理和向心力結(jié)合處理．第（3）問比較難，要分析小環(huán)最終可能停止的位置，考查分析推理能力，也是高考命題立意的重點(diǎn)．