Question

11．如圖所示內(nèi)壁光滑的環(huán)形槽半徑為R．固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為m的小球A、B以等大的速率v₀從圓心等高處向上、向下滑入環(huán)形槽，若在運動過程中兩球均未脫離環(huán)形槽，設(shè)當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g．則下列敘述正確（　　）

• A． v₀的最小值為 $\sqrt{2gR}$
• B． 兩球再次相遇時，速率仍然相等
• C． 小球A通過最高點時的機械能小于小球B通過最低點時的機械能
• D． 小球A通過最高點和小球B通過最低點時對環(huán)形槽的壓力差值為6mg

Answer 1

分析 兩個小球在光滑的圓軌道內(nèi)運動，機械能守恒，據(jù)機械能守恒定律分析它們再次相遇時速率關(guān)系．A球要到最高點，在最高點的速度v必須滿足m$\frac{{v}^{2}}{R}$≥mg．根據(jù)機械能守恒和牛頓第二定律求解軌道對兩球的支持力之差，得到壓力之差．

解答 解：A、設(shè)A球剛好到最高點時的速率為v，則mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，從出發(fā)到最高點的過程，有mgR+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²，聯(lián)立解得：v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，即小球v₀的最小值為$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，故A錯誤；
B、兩個小球在光滑的圓軌道內(nèi)運動，只有重力做功，機械能守恒，開始出發(fā)時機械能相等，則再次相遇時機械能守恒也相等，速率必定相等，故B正確．
C、根據(jù)機械能守恒定律知，小球A通過最高點時的機械能等于小球B通過最低點時的機械能，故C錯誤．
D、小球A通過最高點時，有mg+N_A=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，小球B通過最低點時，有N_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
又由機械能守恒得：對A球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv₀²，對B球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_B²，
聯(lián)立解得，N_B-N_A=6mg，則小球A通過最高點和小球B通過最低點時對環(huán)形槽的壓力差值為6mg，故D正確．
故選：BD．

點評 本題的關(guān)鍵要掌握機械能守恒和向心力知識，要準確把握小球到達最高點的臨界條件，熟練運用機械能守恒定律和牛頓運動定律處理這類問題．