Question

9．平面OM和水平面ON之間的夾角為30°，其橫截面如圖所示，平面OM和平面ON之間同時(shí)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向豎直向上，一帶電小球的質(zhì)量為m，電荷量為q，帶電小球沿紙面以大小為v₀的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場(chǎng)，速度與OM成30°角，帶電小球進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON恰好相切，且?guī)щ娦∏蚰軓腛M上另一點(diǎn)P射出磁場(chǎng)，（P未畫(huà)出）求：

（1）判斷帶電小球帶何種電荷？所加電場(chǎng)強(qiáng)度E為多大？
（2）帶電小球離開(kāi)磁場(chǎng)的射點(diǎn)P到兩平面交點(diǎn)O的距離S多大？
（3）帶電小球離開(kāi)磁場(chǎng)后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，能打在左側(cè)豎直的光屏OO′，此點(diǎn)到O點(diǎn)的距離多大？

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，重力與電場(chǎng)力合力為零，據(jù)此求出場(chǎng)強(qiáng)、判斷小球電性．
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，然后求出距離S．
（3）粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出距離．

解答 解：（1）小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
小球受到電場(chǎng)力與重力平衡，小球所受電場(chǎng)力豎直向上，
電場(chǎng)力方向與場(chǎng)強(qiáng)方向相同，則小球帶正電荷；
電場(chǎng)力與重力大小相等：qE=mg，解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）小球進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作為向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
根據(jù)題意，帶電小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，


Q點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)軌跡與ON相交的點(diǎn)，I點(diǎn)為入射點(diǎn)，P點(diǎn)為出射點(diǎn)，則IP為圓軌道的弦，
小球離開(kāi)磁場(chǎng)的速度方向與OM的夾角也為300°，由幾何關(guān)系可得，QP為圓軌道的直徑，
所以，OP的長(zhǎng)度S為：S=$\frac{QP}{sin30°}$=$\frac{2r}{sin30°}$=4r=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
（3）帶電小球從P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)打在光屏上的T點(diǎn)，豎直位移為y．
水平位移：x=v₀t，解得：t=$\frac{x}{{v}_{0}}$=$\frac{Scos30°}{{v}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$，
豎直位移：y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{6{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$，
如圖所示，OT的距離H為：H=2R+y=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$+$\frac{6{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
答：（1）帶電小球帶正電荷，所加電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{mg}{q}$；
（2）帶電小球離開(kāi)磁場(chǎng)的射點(diǎn)P到兩平面交點(diǎn)O的距離S為$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
（3）帶電小球離開(kāi)磁場(chǎng)后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，能打在左側(cè)豎直的光屏OO′，此點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為：$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$+$\frac{6{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，小球所受電場(chǎng)力與重力合力為零，洛倫茲力提供向心力，小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析求出小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出小球運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的前提與關(guān)鍵．