Question

15．如圖所示，地面有一個固定的半圓形圓柱面，半圓形圓柱面半徑為R，距離圓心O為$\frac{R}{2}$的P點處有一質(zhì)點，過P點的水平線恰好經(jīng)過圓心O，現(xiàn)在確定一條從P到圓柱內(nèi)表面的光滑斜直軌道，使質(zhì)點從靜止開始沿軌道滑行到圓柱面上所經(jīng)歷時間最短，則該斜直軌道與豎直方向的夾角為40.6°，最短時間為$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$．

Answer 1

分析 質(zhì)點沿斜直軌道做勻加速運動，根據(jù)牛頓第二定律可得到加速度與直軌道傾角的關(guān)系．再由位移時間公式得到時間與傾角的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識解答．

解答 解：設(shè)軌道與水平方向的夾角為α，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgsinα=ma
解得：
a=gsinα  ①
根據(jù)正弦定理，斜面的長度：
L=$\sqrt{{R}^{2}+（\frac{R}{2}）^{2}-{R}^{2}cosβ}$=R$\sqrt{1.25-cosβ}$ ②
結(jié)合幾何關(guān)系，有：
$\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{1}{\sqrt{1.25-cosβ}}$ ③
根據(jù)位移時間關(guān)系公式，有：
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ④
聯(lián)立解得：
t=$\sqrt{\frac{2R}{g}（\frac{1.25-cosβ}{sinβ}）}$
對函數(shù)y=$\frac{1.25-cosβ}{sinβ}$討論：
對其一次求導(dǎo)，有：
$\frac{dy}{dβ}$=$\frac{sinβ-cosβ}{si{n}^{2}β}$
1、當(dāng)0°≤β≤45°時，$\frac{dy}{dβ}＞0$，說明β越大，y越小，即t越��；
2、當(dāng)45°≤β≤90°時，$\frac{dy}{dβ}＜0$，說明β越大，y越大，即t越大；
故當(dāng)β=45°時，時間最短，此時sinα=sinβ×$\frac{1}{\sqrt{1.25-cosβ}}$=$\sqrt{\frac{2}{5\sqrt{2}-4}}$≈0.65
故α=40.6°，此時t=$\sqrt{\frac{2R}{g}（\frac{1.25-cos45°}{sin45°}）}$=$\sqrt{\frac{（10\sqrt{2}-8）R}{4g}}$≈$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$
故答案為：40.6°，$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確滑塊的運動規(guī)律，然后結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式列式求解；難點在于數(shù)學(xué)知識的運用上，要會用導(dǎo)函數(shù)的知識求解極值．