Question

15．隨著人類對太空探索工作不斷深入，人類搭建“太空電梯”的夢想有望在本世紀(jì)實(shí)現(xiàn)．科學(xué)家們設(shè)想，通過在地球同步軌道設(shè)置空間站向地面垂下一條纜繩至赤道基站，電梯倉沿著這條纜繩運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)外太空和地球之間便捷的物資交換．若地球半徑為R，表面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω．
（1）求地球同步軌道空間站離地面的高度h₁為多少？（本問結(jié)果用題中所給符號表示）
（2）當(dāng)電梯倉運(yùn)送物資到赤道基地過程中距地面高度為h₂=4R時(shí)，電梯倉相對同步軌道站正以速度v遠(yuǎn)離，求倉內(nèi)質(zhì)量為m₁的物資相對地心運(yùn)動(dòng)的速度為多大？（本問結(jié)果用題中所給符號表示）
（3）若電梯倉因故停在距離地面高度h₃=3R時(shí)，求倉內(nèi)質(zhì)量為m₂=50kg的人對水平地板的壓力大��？（取地面附近重力加速度g=10m/s²，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω=7.3×10^-5rad/s，地球半徑R=6.4×10³km）

Answer 1

分析 （1）因?yàn)橥�步軌道站與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，根據(jù)軌道半徑求出軌道站的線速度．
（2）根據(jù)向心加速度的大小，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出人對水平地板的壓力大小．

解答 解：（1）因?yàn)橥�步軌道站與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，根據(jù)萬有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{（R+{h}_{1}）^{2}}=m{ω}^{2}（R+{h}_{1}）$
地球表面的物體：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
所以：h₁=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{{ω}^{2}}}$-R
（2）在h₂=4R處，軌道站的線速度：v_線=（R+h₂）ω=5ωR，
電梯倉相對于地心的速度：${v}_{倉}=\sqrt{{v}^{2}+{v}_{線}^{2}}=\sqrt{{v}^{2}+25{ω}^{2}{R}^{2}}$
所以倉內(nèi)質(zhì)量為m₁的物資相對地心運(yùn)動(dòng)的速度也是$\sqrt{{v}^{2}+25{ω}^{2}{R}^{2}}$．
（3）電梯倉因故停在距離地面高度h₃=3R時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律
$\frac{G{Mm}_{2}}{{{（h}_{3}+R）}^{2}}$-N=m₂a，
因?yàn)閍=（h₃+R）ω²=4Rω²，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
聯(lián)立解得N=$\frac{{m}_{2}g}{16}$-4m₂Rω²=$\frac{50×10}{16}-4×50×6.4×1{0}^{3}×{（7.3×1{0}^{-5}）}^{2}$=24.4N．
根據(jù)牛頓第三定律知，人對水平地板的壓力為24.4N．
答：（1）求地球同步軌道空間站離地面的高度h₁為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{{ω}^{2}}}$-R；
（2）當(dāng)電梯倉運(yùn)送物資到赤道基地過程中距地面高度為h₂=4R時(shí)，電梯倉相對同步軌道站正以速度v遠(yuǎn)離，倉內(nèi)質(zhì)量為m₁的物資相對地心運(yùn)動(dòng)的速度為$\sqrt{{v}^{2}+25{ω}^{2}{R}^{2}}$；
（3）若電梯倉因故停在距離地面高度h₃=3R時(shí)，倉內(nèi)質(zhì)量為m₂=50kg的人對水平地板的壓力大小為24.4N．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力定律與牛頓第二定律的綜合，知道同步軌道站的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，以及知道人所受的萬有引力和支持力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，掌握萬有引力等于重力這一理論，并能靈活運(yùn)用．