Question

15．如圖所示，在水平向左的勻強(qiáng)電場中，一帶電小球用絕緣輕繩（不伸縮）懸于O點(diǎn)，平衡時(shí)小球位于A點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)繩與豎直方向的夾角θ=53°；已知繩長為l，B、C、D到O點(diǎn)的距離均為l，BOD水平，OC豎直，BO=CO=DO=l．
（1）將小球移到D點(diǎn)后，讓小球由靜止自由釋放，求小球首次經(jīng)過懸點(diǎn)O正下方時(shí)的速率．（計(jì)算結(jié)果可帶根號(hào)，取sin53°=$\frac{4}{5}$）
（2）再將小球移到B點(diǎn)，給小球一豎直向下的初速度v₀，小球到達(dá)懸點(diǎn)O正下方C點(diǎn)時(shí)繩中拉力恰等于小球重力，求v₀的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從D點(diǎn)由靜止自由釋放后，沿重力和電場力的合力方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求出小球首次經(jīng)過懸點(diǎn)O正下方時(shí)的位移，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度；
（2）小球從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，重力做正功，電場力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律結(jié)合求解v₀的大小．

解答 解：（1）由題意知小球能平衡于A點(diǎn)，小球受電場力為：
F=qE=mgtanθ
因?yàn)棣?53°，所以小球在電場中受電場力為：F=$\frac{4}{3}$mg
小球從D點(diǎn)由靜止自由釋放后，沿重力和電場力的合力方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)直至O點(diǎn)的正下方，位移為：
x=$\frac{l}{sin53°}$=$\frac{5}{4}$l，
加速度為：a=$\frac{\frac{mg}{cos53°}}{m}$=$\frac{5}{3}$g，
所以小球首次經(jīng)過懸點(diǎn)O正下方某位置時(shí)的速率為：
v=$\sqrt{2ax}$=$\frac{5\sqrt{6gl}}{6}$．
（2）小球在最低點(diǎn)時(shí)，拉力和重力的合力提供向心力，由題意知小球在最低點(diǎn)時(shí)受到繩的拉力恰好等于小球的重力，所以可以判斷小球在最低點(diǎn)C時(shí)速度恰好為0，即v_C=0，此時(shí)拉力與重力平衡．在小球從B到C的過程中，使用動(dòng)能定理有：
（mg-qE）l=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\frac{\sqrt{6gl}}{3}$；
答：（1）小球首次經(jīng)過懸點(diǎn)O正下方某位置時(shí)的速率是$\frac{5\sqrt{6gl}}{6}$．
（2）v₀的大小是$\frac{\sqrt{6gl}}{3}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是確定電場力的大小，再根據(jù)動(dòng)能定理列方程求解，第1問中小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)不是圓周運(yùn)動(dòng)，要注意運(yùn)動(dòng)形式的判斷．