Question

4．許多游樂場設施利用向心加速度來使游客感覺到刺激，因此游樂場有“十個項目九個轉”之說．某游樂場有一個水上過山車項目，如圖所示：游客乘坐橡皮艇（圖中用一小球表示，橡皮艇和游客的總質(zhì)量為m）從離水平滑道AB高為h=4R的傾斜光滑滑道頂端由靜止開始滑下，進入水平滑道AB（阻力不計）和水平滑道下方半徑為R的圓形管道（R遠大于管道內(nèi)徑），游客乘坐橡皮艇沿圓形管道運動一周后，由B點水平拋出落入一個大水池中，水池的上邊緣DE與圓形管道的圓心O等高．某一次游客乘坐橡皮艇在圓形管道內(nèi)運動過程中可視為阻力f大小不變．游客乘坐橡皮艇多次從光滑滑道頂端靜止開始下滑，橡皮艇沿圓形管道運動時，管道里面有水從內(nèi)壁流進或排出，改變管道里的水量，可以改變對橡皮艇的阻力f，已知對橡皮艇阻力f最大值為f₁=$\frac{3mg}{2π}$，最小值為f₂=$\frac{mg}{2π}$，重力加速度為g．則游客乘坐橡皮艇多次從光滑管道頂端靜止開始滑下，該設施正常工作時，求：
（1）游客乘坐橡皮艇在最低點C時，管道對橡皮艇的支持力最大值；
（2）游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，BD間的水平距離最小值；
（3）若BD間的水平距離采用（2）問中的數(shù)值，使得游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，水池的寬度DE滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）當阻力取最小值時，橡皮艇到達最低點C的速度最大，根據(jù)動能定理求出C點的速度，結合牛頓第二定律求出支持力的最大值．
（2）當摩擦力取最大值時，到達B點的速度最小，則平拋運動的水平位移最小，根據(jù)動能定理求出B點的最小速度，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，結合B點的速度和時間求出水平距離的最小值．
（3）根據(jù)動能定理求出B點的最大速度，結合平拋運動的規(guī)律求出DE的最小值．

解答 解：（1）要使最低點支持力最大，f取最小值f₂，從靜止到C點，
由動能定理得，$mg（h+2R）-{f}_{2}•2πR=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$  ①
在C點，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$，②
聯(lián)立①②可得，F(xiàn)_N=12mg  ③
（2）要使BD水平距離最小，f取最大值f₁，從靜止到B點，
由動能定理得，$mgh-{f}_{1}•2πR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$   ④
從B到D，做平拋運動，在水平方向上：L=v_Bt   ⑤
豎直方向上：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$    ⑥
聯(lián)立④⑤⑥可得，L=2R    ⑦
（3）要使橡皮艇安全落入水中，最遠不能超越E點，
從B到E，水平方向上：L+x_DE=v_B′t    ⑧
當x_DE最大時，一定安全，此時v_B′對應最大值，即f取最小值f₂，從靜止到B點，
由動能定理得，$mgh-{f}_{2}•2πR=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}$    ⑨
聯(lián)立⑧⑨可得${x}_{DE}=2（\sqrt{3}-1）R$．
因此，水池的寬度應滿足${x}_{DE}≥2（\sqrt{3}-1）R$．
答：（1）游客乘坐橡皮艇在最低點C時，管道對橡皮艇的支持力最大值為12mg；
（2）游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，BD間的水平距離最小值為2R；
（3）水池的寬度應滿足${x}_{DE}≥2（\sqrt{3}-1）R$．

點評 本題考查了動能定理和圓周運動、平拋運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．