Question

【題目】萬(wàn)有引力定律揭示了天體運(yùn)行規(guī)律與地上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有內(nèi)在的一致性．

(1)用彈簧秤稱(chēng)量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重量，隨稱(chēng)量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果．已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬(wàn)有引力常量為G.將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設(shè)在地球北極地面稱(chēng)量時(shí)，彈簧秤的讀數(shù)為F0.

a．若在北極上空高出地面h處稱(chēng)量，彈簧秤讀數(shù)為F1，求比值的表達(dá)式，并就h＝1.0%R的情形算出具體數(shù)值(計(jì)算結(jié)果保留2位有效數(shù)字)；

b．若在赤道地面稱(chēng)量，彈簧秤讀數(shù)為F2，求比值的表達(dá)式．

(2)設(shè)想地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑r、太陽(yáng)的半徑為RS和地球的半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，而太陽(yáng)和地球的密度均勻且不變，僅考慮太陽(yáng)和地球之間的相互作用，以現(xiàn)實(shí)地球的1年為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算“設(shè)想地球”的1年將變?yōu)槎嚅L(zhǎng)？

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變

【解析】試題分析：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得出比值的表達(dá)式，并求出具體的數(shù)值．

在赤道，由于萬(wàn)有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，根據(jù)該規(guī)律求出比值的表達(dá)式

（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出周期與軌道半徑以及太陽(yáng)半徑的關(guān)系，從而進(jìn)行判斷．

解：（1）在地球北極點(diǎn)不考慮地球自轉(zhuǎn)，則秤所稱(chēng)得的重力則為其萬(wàn)有引力，于是

①

②

由公式①②可以得出：

=0.98．

③

由①和③可得：

（2）根據(jù)萬(wàn)有引力定律，有

又因?yàn)?/span>，

解得

從上式可知，當(dāng)太陽(yáng)半徑減小為現(xiàn)在的1.0%時(shí)，地球公轉(zhuǎn)周期不變．

答：

（1）=0.98．比值

（2）地球公轉(zhuǎn)周期不變．仍然為1年．