Question

3．如圖所示，一個(gè)光滑、絕緣水平高臺(tái)的右面空間中存在范圍足夠大且水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，高臺(tái)邊緣靜置一個(gè)帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球B，另有一個(gè)絕緣不帶電的小球A（大小與小球B相同，質(zhì)量為3m）以初速度v₀向B運(yùn)動(dòng)，A與B發(fā)生彈性碰撞后水平進(jìn)入電場(chǎng)．已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為E=$\frac{2mg}{q}$，重力加速度為g．（小球A、B碰撞過程中電荷不發(fā)生轉(zhuǎn)移）
（1）小球A、B在水平臺(tái)上發(fā)生碰撞后瞬間的速度大小V_A、V_B？
（2）小球A、B在電場(chǎng)中碰撞前相距的最大距離△x及條件？
（3）如果只改變A的質(zhì)量，其它條件不變．小球A、B在電場(chǎng)中碰撞前相距的最大距離△x是否改變？

Answer 1

分析 （1）小球A、B發(fā)生彈性碰撞的過程中動(dòng)量守恒、動(dòng)能守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰后各自的速度大�。�
（2）A球不帶電，所以出平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做自由落體，水平為勻速運(yùn)動(dòng)； B球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)（假定向右為上），所以兩球在豎直方向運(yùn)動(dòng)情況相同，始終保持在同一高度．當(dāng)兩球水平速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn)；也可以求出在時(shí)間t內(nèi)兩球在水平方向上的位移，根據(jù)二次函數(shù)求極值的方法求出最大距離．
（3）如果保持B的質(zhì)量不變，改變A的質(zhì)量，其它條件不變，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出碰后兩球的速度之差，看是否與小球的質(zhì)量有關(guān)，從而根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式判斷再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離及再次碰撞發(fā)生的高度是否發(fā)生變化．

解答 解：（1）小球A、B發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，
以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：3mV₀=3mV_A+mV_B ①
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}3mV_0^2=\frac{1}{2}3mV_A^2+\frac{1}{2}mV_B^2$  ②
解得：V_A=$\frac{1}{2}$V₀，V_B=$\frac{3}{2}$V₀，方向：都向右 ③
（2）因?yàn)閮尚∏蜇Q直分運(yùn)動(dòng)都是自由落體運(yùn)動(dòng)，而B球在水平方向受向左的電場(chǎng)力往返運(yùn)動(dòng)．
兩球在相同的時(shí)間下落相同的高度，兩球在豎直方向運(yùn)動(dòng)相同，始終保持在同一高度，且能相碰．
水平方向：X_A=V_At  ④
X_B=V_Bt-$\frac{1}{2}$${a_{xB}}{t^2}$  ⑤
B球在水平方向的加速度：a_xB=$\frac{qE}{m}=2g$  ⑥
在電場(chǎng)中兩球相距：△x=X_B-X_A=V₀t-gt²=-g （t-$\frac{V_0}{2g}$）²+$\frac{V_0^2}{4g}$ ⑦
當(dāng)t=$\frac{V_0}{2g}$時(shí)，相距最遠(yuǎn)：△x=$\frac{V_0^2}{4g}$ ⑧
（3）小球A、B發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，
以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：m_AV₀=m_AV_A+mV_B ⑨
由機(jī)械能守恒定律的：$\frac{1}{2}{m_A}V_0^2=\frac{1}{2}{m_A}V_A^2+\frac{1}{2}mV_B^2$  ⑩
由⑨⑩得：V_B-V_A=V₀（與A、B質(zhì)量無關(guān)），
有：X_A=V_At     X_B=V_Bt-$\frac{1}{2}$${a_{xB}}{t^2}$
B球在水平方向的加速度：a_xB=$\frac{qE}{m}=2g$
在電場(chǎng)中兩球相距：△x=X_B-X_A=V₀t-gt²=-g （t-$\frac{V_0}{2g}$）²+$\frac{V_0^2}{4g}$，故結(jié)論不變；
答：（1）小球A、B在水平臺(tái)上發(fā)生碰撞后瞬間的速度大小V_A、V_B分別為：$\frac{1}{2}$V₀、$\frac{3}{2}$V₀；
（2）當(dāng)t=$\frac{V_0}{2g}$時(shí)，小球A、B在電場(chǎng)中碰撞前相距的距△x最大，為：$\frac{V_0^2}{4g}$；
（3）如果只改變A的質(zhì)量，其它條件不變．小球A、B在電場(chǎng)中碰撞前相距的最大距離△x不改變．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是道難題．