Question

10．土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動可視為圓周運(yùn)動．其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵ km，忽略所有巖石顆粒間的相互作用．（結(jié)果可用根式表示）
（1）求巖石顆粒A和B的線速度之比．
（2）土星探測器上有一物體，在地球上重為10N，推算出它在距土星中心3.2×10⁵km處受到土星的引力為0.38N．已知地球半徑為6.4×10³km，請估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力即可列式求解；
（2）根據(jù)萬有引力公式直接列式比較即可求解．

解答 解：（1）設(shè)土星質(zhì)量為M₀，顆粒質(zhì)量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有：
$G\frac{{M}_{0}m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{G{M}_{0}}{r}}$
對于A、B兩顆粒分別有：${v}_{A}=\sqrt{\frac{G{M}_{0}}{{r}_{A}}}$，${v}_{B}=\sqrt{\frac{G{M}_{0}}{{r}_{B}}}$
解得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{1.2×1{0}^{5}}{8.0×1{0}^{4}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 
故巖石顆粒A和B的線速度之比為$\sqrt{6}：2$．
（2）設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為r₀，地球上物體的重力可視為萬有引力，探測器上物體質(zhì)量為m₀，在地球表面重力為G₀，距土星中心為：r₀′=3.2×10⁵ km處的引力為G₀′，根據(jù)萬有引力定律有：
${G}_{0}=\frac{GM{m}_{0}}{{{r}_{0}}^{2}}$
G₀′=$\frac{G{M}_{0}{m}_{0}}{r{′}^{2}}$    
解得：$\frac{{M}_{0}}{M}=\frac{{G}_{0}′}{{G}_{0}}×（\frac{r′}{r}）^{2}$=$\frac{0.38}{10}×（\frac{3.2×1{0}^{5}}{6400}）^{2}$=95
故土星質(zhì)量大約是地球質(zhì)量的95倍．
答：（1）巖石顆粒A和B的線速度之比為$\sqrt{6}：2$．
（2）土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的95倍．

點(diǎn)評 本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個關(guān)系，能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．