Question

15．如圖所示，寬為L(zhǎng)=2m、足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌MN和M′N′放在傾角為θ=30°的斜面上，在N和N′之間連有一個(gè)阻值為R=1.2Ω的電阻，在導(dǎo)軌上AA’處放置一根與導(dǎo)軌垂直、質(zhì)量為m=0.8kg、電阻為r=0.4Ω的金屬滑桿，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)．用輕繩通過定滑輪將電動(dòng)小車與滑桿的中點(diǎn)相連，繩與滑桿的連線平行于斜面，開始時(shí)小車位于滑輪的正下方水平面上的P處（小車可視為質(zhì)點(diǎn)），滑輪離小車的高度H=4.0m．在導(dǎo)軌的NN′和OO′所圍的區(qū)域存在一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T、方向垂直于斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，此區(qū)域內(nèi)滑桿和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此區(qū)域外導(dǎo)軌是光滑的．電動(dòng)小車沿PS方向以v=1.0m/s的速度勻速前進(jìn)時(shí)，滑桿經(jīng)d=1m的位移由AA′滑到OO′位置．（g取10m/s²）求：

（1）請(qǐng)問滑桿AA′滑到OO′位置時(shí)的速度是多大？
（2）若滑桿滑到OO′位置時(shí)細(xì)繩中拉力為10.1N，滑桿通過OO′位置時(shí)的加速度？
（3）若滑桿運(yùn)動(dòng)到OO′位置時(shí)繩子突然斷了，則從斷繩到滑桿回到AA′位置過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q為多少？（設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，滑桿滑回到AA’時(shí)恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)．）

Answer 1

分析 （1）由速度分解法求出滑桿AA′滑到OO′位置時(shí)的速度；
（2）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由牛頓第二定律求出加速度．
（3）由平衡條件求出滑桿的速度，由能量守恒定律求出產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）滑桿運(yùn)動(dòng)到OO′位置時(shí)，小車通過S點(diǎn)時(shí)的速度為v=1.0m/s，設(shè)系繩與水平面的夾角為α，則 $\frac{H}{sinα}$-H=d，sinα=0.8，α=53°，
此時(shí)向上的速度即繩端沿繩長(zhǎng)方向的速度：v₁=vcosα=0.6m/s．
（2）滑桿運(yùn)動(dòng)到OO’位置產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv₁，產(chǎn)生感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{R+r}$
受到的安培力 F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}$，
代入數(shù)據(jù)，可得F_安=1.5N．
滑桿通過OO′位置時(shí)所受摩擦力 f=μmgcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×0.8×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3N．
由牛頓第二定律得：F-mgsinθ-f-F_安=ma，
解得加速度：a=2m/s²．
（3）設(shè)滑桿返回運(yùn)動(dòng)到AA′位置后做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v₂，由平衡條件得：
mgsinθ=μmgcosθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$，
帶入數(shù)據(jù)，可得：v₂=0.4m/s
由能量守恒定律得：Q=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²+mgdsinθ-μmgdcosθ，
帶入數(shù)據(jù)，可得Q=1.08J
電阻R上產(chǎn)生的熱量 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，
解得：Q_R=0.81J．
答：（1）滑桿AA′滑到OO′位置時(shí)的速度是0.60m/s；
（2）若滑桿滑到OO′位置時(shí)細(xì)繩中拉力為10.1N，滑桿通過OO′位置時(shí)的加速度是2m/s²；
（3）若滑桿運(yùn)動(dòng)到OO′位置時(shí)繩子突然斷了，則從斷繩到滑桿回到AA′位置過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q為0.81J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道電磁感應(yīng)與力學(xué)、電學(xué)相結(jié)合的綜合體，考查了求加速度、電阻產(chǎn)生的熱量，分析清楚滑桿的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解、E=BLv、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律、平衡條件、能量守恒定律即可正確解題；求R產(chǎn)生的熱量時(shí)要注意，系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量為R與r產(chǎn)生的熱量之和．