Question

15．有兩顆人造地球衛(wèi)星，甲離地面800km，乙離地面1600km，求（地球半徑約為6400km）：
（1）兩者的線速度之比；
（2）兩者的周期之比．

Answer 1

分析 設(shè)地球的質(zhì)量為M，靜止在地面上的物體質(zhì)量為m，根據(jù)地球表面重力等于向心力列式，再根據(jù)人造地球衛(wèi)星做勻速圓周運動時由萬有引力提供向心力列式，由以上兩式即可求得該人造地球衛(wèi)星的周期．

解答 解：（1）對衛(wèi)星：由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
$G\frac{Mm}{{（{R}_{0}+h）}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{0}+h}$…①
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}+h}}$，所以：$\frac{{v}_{甲}}{{v}_{乙}}=\sqrt{\frac{{R}_{0}+{h}_{2}}{{R}_{0}+{h}_{1}}}=\sqrt{\frac{6400+800}{6400+1600}}=\sqrt{\frac{9}{10}}$
（2）萬有引力定律和牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{{{{（{R_0}+h）}^2}}}=m（{R_0}+h）（\frac{2π}{T}）{\;}^2$…②
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（{R}_{0}+h）^{3}}{GM}}$，
所以：$\frac{{T}_{甲}}{{T}_{乙}}=\sqrt{（\frac{{R}_{0}+{h}_{1}}{{R}_{0}+{h}_{2}}）^{3}}$
代入數(shù)據(jù)得：$\frac{{T}_{甲}}{{T}_{乙}}=\sqrt{{（\frac{10}{9}）}^{3}}$=$\frac{10\sqrt{10}}{27}$
答：（1）兩者的線速度之比是$\sqrt{\frac{9}{10}}$；
（2）兩者的周期之比是$\frac{10\sqrt{10}}{27}$．

點評 本題是萬有引力提供向心力公式的直接應(yīng)用，根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律分別寫出與線速度、周期相關(guān)的公式即可正確解答，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．