Question

5．我國(guó)自行研制的“神舟五號(hào)”載人飛船載著中國(guó)第一代宇航員楊利偉，于2003年10月15日9時(shí)在酒泉發(fā)射場(chǎng)由“長(zhǎng)征二號(hào)F”大推力運(yùn)載火箭發(fā)射升空，并按預(yù)定軌道環(huán)繞地球飛行14圈后，于10月16日6時(shí)23分安全返回落在內(nèi)蒙古的主著陸場(chǎng)．
（1）設(shè)“神舟五號(hào)”飛船在飛行過程中繞地球沿圓軌道運(yùn)行，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，飛船繞地球運(yùn)行的周期為T．試計(jì)算飛船離地面的平均高度h．
（2）已知將質(zhì)量為m的飛船在距地球中心無限遠(yuǎn)處移到距離地球中心為r處的過程中，萬有引力做功為W=GMm/r，式中G為萬有引力恒量，M為地球的質(zhì)量．那么將質(zhì)量為m的飛船從地面發(fā)射到距離地面高度為h的圓形軌道上，火箭至少要對(duì)飛船做多少功？（為簡(jiǎn)化計(jì)算，不考慮地球自轉(zhuǎn)對(duì)發(fā)射的影響）

Answer 1

分析 （1）由萬有引力定律和牛頓第二定律對(duì)飛船的運(yùn)行過程列出等式求解
（2）表示出將飛船由距地球無窮遠(yuǎn)處移至距離地球表面為h處引力做功，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律列出等式求解．

解答 解：（1）設(shè)飛船質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，由萬有引力定律和牛頓第二定律對(duì)飛船的運(yùn)行過程有：
$G\frac{mM}{{{{（R+h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（R+h）$
又$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得飛船離地面的高度為：$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
（2）若將飛船由距地球無窮遠(yuǎn)處移至距離地球表面為h處，引力做功為：W₁=$\frac{GMm}{R+h}$
若將飛船由距地球無窮遠(yuǎn)處移至地球表面，引力做功為：W₂=$\frac{GMm}{R}$
所以將飛船由地球表面發(fā)射到距離地面h高的軌道上的過程中，引力做功為：W₃=$\frac{GMm}{R+h}$-$\frac{GMm}{R}$
設(shè)飛船在距離地面高為h的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v^2}{R+h}$
設(shè)將飛船送入沿距地面高度為h的圓形軌道運(yùn)動(dòng)的過程中，火箭要對(duì)飛船所做的功為W，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$W+{W_3}=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$W=\frac{GMm（R+2h）}{2R（R+h）}$
答：（1）飛船離地面的平均高度是$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
（2）火箭至少要對(duì)飛船做功為$W=\frac{GMm（R+2h）}{2R（R+h）}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握牛頓第二定律，以及萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運(yùn)用．