Question

20．如圖所示，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，桿的一端固定一質(zhì)量為m的小球，桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)繞桿的另一端O在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，求：
（1）小球在最高點(diǎn)A時(shí)速度v_A為多大時(shí)，才能使桿對(duì)小球m的作用力為零？
（2）小球在最高點(diǎn)A時(shí)，桿對(duì)小球的作用力F為拉力和推力時(shí)的臨界速度是多少？
（3）如m=0.5kg，L=0.5m，v_A=0.4m/s，則在最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B時(shí)，桿對(duì)小球m的作用力各是多大？是推力還是拉力？

Answer 1

分析 在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，小球的重力和桿對(duì)小球的作用力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式分析即可求解．

解答 解：（1）若桿和小球之間相互作用力為零，那么小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力mg提供，有：
$mg=\frac{{m{v_A}^2}}{L}$
解得：${v_A}=\sqrt{Lg}$
（2）若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)受拉力F，則有：
$F+mg=m\frac{{{v^2}_1}}{L}$
解得：${v_1}=\sqrt{gL+\frac{FL}{m}}＞\sqrt{Lg}$
若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)受推力F，有：
則$mg-F=m\frac{{{v_2}^2}}{L}$
解得：${v_2}=\sqrt{Lg-\frac{FL}{m}}＜\sqrt{Lg}$
可見(jiàn)${v_A}=\sqrt{Lg}$是桿對(duì)小球m的作用力F在推力和拉力之間突變的臨界速度．
（3）桿長(zhǎng)L=0.5m時(shí)，臨界速度${v_臨}=\sqrt{Lg}=\sqrt{0.5×10}$m/s=2.2 m/s，v_A=0.4m/s＜v_臨，桿對(duì)小球有推力F_A．
由$mg-{F_A}=m\frac{{{v_A}^2}}{L}$
解得：${F_A}=mg-m\frac{{{v_A}^2}}{L}$=（$0.5×10-\frac{{0.5×{{0.4}^2}}}{0.5}$）N=4.84N，
由A到B只有重力做功，機(jī)械能守恒，設(shè)B點(diǎn)所處水平面為參考面，
則有$\frac{1}{2}m{v_A}^2+mg•2L=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
解得：${v_B}=\sqrt{{v_A}^2+4gL}=\sqrt{{{0.4}^2}+4×10×0.5}$m/s=4.5m/s，
在最低點(diǎn)B，小球m受拉力F_B，由${F_B}-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{L}$
解得${F_B}=mg+m\frac{{{v_B}^2}}{L}=（0.5×10+\frac{{0.5×{{4.5}^2}}}{0.5}）$N=25.3N
答：（1）小球在最高點(diǎn)A時(shí)速度v_A為$\sqrt{Lg}$時(shí)，才能使桿對(duì)小球m的作用力為零；
（2）小球在最高點(diǎn)A時(shí)，桿對(duì)小球的作用力F為拉力和推力時(shí)的臨界速度是$\sqrt{Lg}$；
（3）如m=0.5kg，L=0.5m，v_A=0.4m/s，則在最高點(diǎn)A點(diǎn)是推力，大小為4.84N，最低點(diǎn)B時(shí)是拉力，大小為25.3N．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向心力公式的直接應(yīng)用，關(guān)鍵搞清向心力的來(lái)源，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．