Question

2．如圖所示，一小球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)做豎直面圓周運(yùn)動，小球直徑略小于管的直徑．圓管在地球表面時，要使小球經(jīng)過最高點(diǎn)產(chǎn)并且對管壁恰好無壓力，需要的速度大小為v．若把該圓管拿到某星球表面上，要使小球經(jīng)過最高點(diǎn)并且對管壁恰好無壓力，需要的速度為$\frac{v}{2}$．已知星球的半徑與地球半徑之比為R_v：R_m=1：4，地球表面重力加速度g=10m/s²．求：
（1）該星球表面的重力加速度g′；
（2）該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析 以小球?yàn)檠芯繉ο�，小球以速度v通過最高點(diǎn)時，由重力與管壁對小球的壓力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式．當(dāng)小球以$\frac{v}{2}$速通過圓管的最高點(diǎn)，再根據(jù)牛頓第二定律列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）要使小球經(jīng)過最高點(diǎn)并且對管壁恰好無壓力，則應(yīng)滿足
地球上軌道最高點(diǎn)$mg=\frac{m{v}_{\;}^{2}}{r}$
星球上軌道最高點(diǎn)$mg′=\frac{m{v}_{\;}^{2}}{4r}$
星球表面的重力加速度$g′=\frac{g}{4}=2.5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）在任一星球表面重力等于萬有引力
在地球表面：$mg=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}$
在星球表面：$mg′=G\frac{{M}_{星}^{\;}m}{{R}_{星}^{2}}$
星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比$\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}=\frac{1}{64}$
答：（1）該星球表面的重力加速度$2.5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比1：64

點(diǎn)評 本題是牛頓第二定律的直接應(yīng)用．對于圓周運(yùn)動，分析受力情況，確定向心力的來源是關(guān)鍵，重力加速度g是天體運(yùn)動研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動研究聯(lián)系的物理量．