Question

13．如圖所示，質(zhì)量m=0.5kg的小球從距地面高H=5m處自由下落，到達(dá)地面A點(diǎn)時(shí)恰能沿凹陷于地面的粗糙半圓形槽壁運(yùn)動，半圓槽半徑R=0.4m．小球到達(dá)槽最低點(diǎn)時(shí)的速率為v_B=10m/s，并繼續(xù)沿槽壁運(yùn)動直至從槽左端邊緣飛出，豎直上升，落下后恰好又沿槽壁運(yùn)動直到從槽右端邊緣飛出，豎直上升、下落，如此反復(fù)幾次．設(shè)粗糙半圓形槽壁對小球的摩擦力大小恒定不變．求：
（1）小球開始下落后，第一次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度大小v_A；
（2）小球第一次離槽上升高度h；
（3）小球最多能飛出槽外幾次？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）分析小球從最高點(diǎn)到槽口的過程，由機(jī)械能守恒定律求小球第一次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）再分析小球從下落到第一次飛出到最高點(diǎn)，由動能定理可求得最高點(diǎn)的高度h；
（3）要使小球飛出去，則小球在槽口的速度應(yīng)大于等于零，由動能定理可求得小球在半圓形槽上運(yùn)動時(shí)，克服摩擦力做的總功，即可求得小球最多飛出槽外的次數(shù)．

解答 解：（1）小球開始下落到第一次到達(dá)A點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，則有：
mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_A=10m/s
（2）小球從高處至槽口時(shí)，只有重力做功；由槽口至槽底端重力、摩擦力都做功．由于對稱性，圓槽右半部分摩擦力的功與左半部分摩擦力的功相等．小球落至槽底部的整個(gè)過程中，由動能定理得：
mg（H+R）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²；
解得：W_f=mg（H+R）-$\frac{1}{2}$mv_B²=0.5×10×（5+0.4）-$\frac{1}{2}$×0.5×10²=2J；
由對稱性知，小球從槽底到槽左端口克服摩擦力做功也為2J，設(shè)小球第一次離槽上升的高度為h，從最低點(diǎn)到左側(cè)最高點(diǎn)的過程，由動能定理得：
-mg（h+R）-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv_B²；
代入數(shù)據(jù)解得：h=4.2m
（3）設(shè)小球飛出槽外n次，對整個(gè)過程，由動能定理得：mgH-n×2W_f=0
解得：n=$\frac{mgH}{2{W}_{f}}$=6.25，n只能取整數(shù)，故小球最多能飛出槽外6次．
答：（1）小球開始下落后，第一次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度大小v_A是10m/s
（2）小球第一次離槽上升高度h為4.2m；
（3）小球最多能飛出槽外6次．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是抓住小球在凹槽左右兩側(cè)克服摩擦力做功相等，即抓住對稱性．知道小球做往復(fù)運(yùn)動時(shí)，每經(jīng)歷凹槽一次損失的機(jī)械能都相同．