Question

14．一顆人造地球衛(wèi)星離地面高h(yuǎn)=3R（R為地球的半徑）．若已知地地球表面的重力加速度為g，則衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$，角速度是$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{g}{R}}$，周期是$16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，若已知地球的質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，則衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$，角速度是$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$，周期是$16π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力，在地球表面重力與萬有引力相等列式分析求解即可．

解答 解：由題意知，衛(wèi)星的軌道半徑r=R+h=4R
在地球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR²
根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得衛(wèi)星的運(yùn)動速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{4R}}=\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
衛(wèi)星運(yùn)動的角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{64{R}^{3}}}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{g}{R}}$
衛(wèi)星運(yùn)動的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}•64{R}^{3}}{g{R}^{2}}}$=$16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
若已知地球的質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得衛(wèi)星的運(yùn)行速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$
衛(wèi)星運(yùn)動的角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}=\sqrt{\frac{GM}{64{R}^{3}}}$=$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$
衛(wèi)星運(yùn)動的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$=$16π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
故答案為：$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$，$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{g}{R}}$，$16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$，$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$，$16π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．

點(diǎn)評 萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力，熟悉掌握萬有引力及向心力的不同表達(dá)式是正確解題的關(guān)鍵．