Question

4．如圖所示，一個(gè)質(zhì)暈為M長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓管豎直放置，頂端塞有一個(gè)質(zhì)舉為m的彈性小球，M=4m，球和管間的滑動(dòng)摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．管從下端離地面距離為H處自由落下，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，管始終保持豎直，每次落地后向上彈起的速度與落地時(shí)速度大小相等，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）管第一次彈起時(shí)刻的速率V₀、
（2）管第一次落地彈起時(shí)，管和球的加速度；
（3）管第一次落地彈起后，若球沒(méi)有從管中滑出，則球與管達(dá)到相同速度時(shí)，管的下端距地面的高度：
（4）管第二次彈起后球不致滑落，L應(yīng)滿(mǎn)足什么條件．

Answer 1

分析 （1、2）根據(jù)v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對(duì)于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對(duì)于管靜止時(shí)的相對(duì)位移，即可求解．
（3）根據(jù)管上升的加速度，以及相對(duì)加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間和管從碰地到與球相對(duì)靜止所需的時(shí)間，比較兩個(gè)時(shí)間知道球與管的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出管上升的最大高度．
（4）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）取豎直向下為正方向．球與管第一次碰地時(shí)速度${v}_{0}=\sqrt{2gH}$，方向向下．
則管第一次彈起時(shí)刻的速率為$\sqrt{2gH}$，
（2）管第一次落地彈起時(shí)，管的加速度${a}_{1}=\frac{4mg+4mg}{4m}=2g$，方向向下，
球的加速度${a}_{2}=\frac{f-mg}{m}=3g$，方向向上，
（3）球的速度${v}_{2}=\sqrt{2gH}$，方向向下
若球剛好沒(méi)有從管中滑出，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁，球管速度v相同，則有-v₁+a₁t₁=v₂-a₂t₁
${t}_{1}=\frac{2{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$
管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間t₂，則：${t}_{2}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$因?yàn)閠₁＜t₂，說(shuō)明管在達(dá)到最高點(diǎn)前，球與管相對(duì)靜止，故管從彈起經(jīng)t₁這段時(shí)間上升的高度為所求．得${h}_{1}={v}_{1}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{12}{25}H$
（4）球與管達(dá)到相對(duì)靜止后，將以速度v、加速度 g豎直上升到最高點(diǎn)，由于$v={v}_{2}-{a}_{2}{t}_{1}=-\frac{1}{5}\sqrt{2gH}$，
故這個(gè)高度是${h}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{1}{25}H$
因此，管第一次落地彈起后上升的最大高度${H}_{m}={h}_{1}+{h}_{2}=\frac{13}{25}H$
這一過(guò)程球運(yùn)動(dòng)的位移$s={v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{1}}^{2}=\frac{8}{25}H$
則球與管發(fā)生相對(duì)位移${s}_{1}={h}_{1}+s=\frac{4}{5}H$
當(dāng)管與球從H_m再次下落，第二次落地彈起中，發(fā)生的相對(duì)位移由第一次可類(lèi)推知：${s}_{2}=\frac{4}{5}{H}_{m}$
所以管第二次彈起后，球不會(huì)滑出管外的條件是s₁+s₂＜L
即L應(yīng)滿(mǎn)足條件$L＞\frac{152}{125}H$
答：（1）管第一次彈起時(shí)刻的速率為$\sqrt{2gH}$；
（2）管第一次落地彈起時(shí)管和球的加速度分別為2g，3g；
（3）管第一次落地彈起后，若球沒(méi)有從管中滑出，則球與管達(dá)到相同速度時(shí)，管的下端距地面的高度為$\frac{12}{25}H$；
（4）管第二次彈起后球不致滑落，L應(yīng)滿(mǎn)足$L＞\frac{152}{125}H$．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于管和球的運(yùn)動(dòng)情況難于判斷，關(guān)鍵通過(guò)計(jì)算理清球和管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．