Question

（2007?海淀區(qū)模擬）磁流體動(dòng)力發(fā)電機(jī)的原理如圖所示，一個(gè)水平放置的上下、前后封閉的橫截面為矩形的塑料管，其寬度為l，高度為h，管內(nèi)充滿電阻率為ρ的某種導(dǎo)電流體（如水銀）．矩形塑料管的兩端接有渦輪機(jī)，由渦輪機(jī)提供動(dòng)力使流體通過管道時(shí)具有恒定的水平向右的流速v₀．管道的前、后兩個(gè)側(cè)面上各有長(zhǎng)為d的相互平行且正對(duì)的銅板M和N．實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，為簡(jiǎn)化起見作如下假設(shè)：①垂直流動(dòng)方向橫截面上各處流體的速度相同；②流體不可壓縮；③當(dāng)N、N之間有電流通過時(shí)，電流只從M、N之間正對(duì)的區(qū)域內(nèi)通過．
（1）若在兩個(gè)銅板M、N之間的區(qū)域加有豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則當(dāng)流體以穩(wěn)定的速度v₀流過時(shí)，兩銅板M、N之間將產(chǎn)生電勢(shì)差．求此電勢(shì)差的大小，并判斷M、N兩板哪個(gè)電勢(shì)較高；
（2）用電阻可忽略不計(jì)的導(dǎo)線將銅板M、N外側(cè)相連接（設(shè)電流只分布在M、N之間的長(zhǎng)方體內(nèi)），由于此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)流體有力的作用，使流體的穩(wěn)定速度變?yōu)関（v＜v₀），求磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力；
（3）為使速度增加到原來(lái)的值v₀，渦輪機(jī)提供動(dòng)力的功率必須增加，假設(shè)流體在流動(dòng)過程中所受的阻力與它的流速成正比，試導(dǎo)出新增加功率的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）流體通過管道時(shí)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出兩銅板間的電勢(shì)差．由右手定則判斷電勢(shì)高低．
（2）根據(jù)電阻定律求出兩個(gè)銅面之間區(qū)域的電阻R的表達(dá)式．結(jié)合安培力的大小公式，求出磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力．
（3）功率的增加量等于壓力差功率的增加量，根據(jù)壓力差的變化求出功率增加量的表達(dá)式．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律，兩銅板間的電勢(shì)差  E=Blv₀
由右手定則可判斷出M板的電勢(shì)高
（2）用電阻可忽略不計(jì)的導(dǎo)線將銅板M、N外側(cè)相連接，即銅板由外側(cè)短路后，M、N兩板間的電動(dòng)勢(shì)  E=Blv
短路電流  I=

E

R內(nèi)

  R_內(nèi)=ρ

l

hd

磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力  F=BIl
解得：F=

vB2hld

ρ

方向與v方向相反（或水平向左）
（3）設(shè)流體在流動(dòng)過程中所受的阻力與流速的比例系數(shù)為k，所以在外電路未短路時(shí)流體以穩(wěn)定速度v₀流過，此時(shí)流體所受的阻力（即渦輪機(jī)所提供的動(dòng)力） F₀=kv₀
此時(shí)渦輪機(jī)提供的功率  P₀=F₀v₀=kv₀²
外電路短路后，流體仍以穩(wěn)定速度v₀流過時(shí)，設(shè)此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力為F_磁，根據(jù)第（2）問的結(jié)果可知F_磁=

v0B2hld

ρ

此時(shí)渦輪機(jī)提供的動(dòng)力 F_t=F₀+F_磁=kv₀+

v0B2hld

ρ

此時(shí)渦輪機(jī)提供的功率 P_t=Fv₀=kv₀²+

v 2 0 B2hld

ρ

所以新增加功率△P=P_t-P₀=

v 2 0 B2hld

ρ

答：
（1）電勢(shì)差為Blv₀，由右手定則可判斷出M板的電勢(shì)高．
（2）磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力為

vB2hld

ρ

．
（3）增加功率的表達(dá)式為△P=

v 2 0 B2hld

ρ

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握電阻定律、安培力大小和方向的判斷，難點(diǎn)在于通過平衡求出流體新的穩(wěn)定速度v的表達(dá)式．