Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形。質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v₀的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：
（1）次勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小；
（2）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

Answer 1

解：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。令圓弧是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場(chǎng)的作用力①
應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外。圓弧的圓心在CB邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)上。依題意，圓心在A、C連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，故B 點(diǎn)即為圓心，圓半徑為a按照牛頓定律有 ②
聯(lián)立①②式得 ③
（2）由（1）中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自C點(diǎn)垂直于BC入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界。
為了決定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界，我們來(lái)考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交角為θ（不妨設(shè)）的情形。該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡qpA如圖所示

圖中，圓的圓心為O，pq垂直于BC邊，由③式知，圓弧的半徑仍為a，在D為原點(diǎn)、DC為x軸，AD為y軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

這意味著，在范圍內(nèi)，p點(diǎn)形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周，它是電子做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線(xiàn)，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界
因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個(gè)四分之一圓周和所圍成的，其面積為