Question

14．物體在地球上不同緯度處隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力的大小不同，故同一個物體在地球上不同緯度處重力大小不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點受到的重力大小之比約為299：300，因此我們通常忽略兩者的差異，可認為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略．假如某星球因為自轉(zhuǎn)原因，一物體在赤道上的重力與其在該星球兩極點受到的重力大小之比為5：6，已知該星球的半徑為R，
（1）求繞該星球運動的同步衛(wèi)星的軌道半徑r；
（2）若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，萬有引力常量為G，求該星球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即：${F}_{萬}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{極}$，物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G_赤，有：F_萬=G_赤+F_n，該星球的同步衛(wèi)星的周期等于自轉(zhuǎn)周期T，則有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，結(jié)合題目中的條件，計算繞該星球運動的同步衛(wèi)星的軌道半徑r．
（2）在星球赤道上，有$\frac{5}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解出該星球的質(zhì)量，再根據(jù)密度的定義式計算星球的密度．

解答 解：（1）設(shè)物體質(zhì)量為m，星球質(zhì)量為M，星球的自轉(zhuǎn)周期為T，物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即：${F}_{萬}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{極}$
物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G_赤，有：F_萬=G_赤+F_n
因為${G}_{赤}=\frac{5}{6}{G}_{極}$，
得：${F}_{n}=\frac{1}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{（\frac{2π}{T}）}^{2}R$
該星球的同步衛(wèi)星的周期等于自轉(zhuǎn)周期T，則有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
聯(lián)立解得：r=$\root{3}{6}$R
（2）在星球赤道上，有：$\frac{5}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
可得：$M=\frac{6g{R}^{2}}{5G}$
又因星球的體積：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以該星球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{9g}{10GπR}$
答：（1）繞該星球運動的同步衛(wèi)星的軌道半徑為$\root{3}{6}$R；
（2）若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，萬有引力常量為G，則該星球的密度為$\frac{9g}{10GπR}$．

點評 本題要知道物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G_赤，有關(guān)系：F_萬=G_赤+F_n，這兩個關(guān)系是解題的關(guān)鍵．