Question

19．一個(gè)固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)，小球B穿在圓環(huán)上可無(wú)摩擦滑動(dòng)．輕質(zhì)彈簧一端固定在圓環(huán)最高點(diǎn)A，另一端與小球B連接，小球B在如圖所示位置處于靜止?fàn)顟B(tài)．圓環(huán)的圓心為O點(diǎn)，半徑為R．彈簧原長(zhǎng)等于R，與豎直方向夾角為α=30°．小球重為G，可看成質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）圓環(huán)對(duì)小球的作用力；
（2）彈簧的勁度系數(shù)．

Answer 1

分析 以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析受力情況，作出力圖．根據(jù)平衡條件，運(yùn)用三角形相似法得到圓環(huán)對(duì)小球作用力大小和彈簧彈力大小，再由胡克定律求出彈簧的勁度系數(shù)．

解答 解：解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析受力情況：豎直向下的重力G，彈簧的彈力F，圓環(huán)的彈力N，N沿半徑方向背離圓心O，作出力圖如圖所示．利用合成法，將重力G和彈力N合成，合力F_合應(yīng)與彈簧彈力F平衡．由圖看出，力的三角形△BCD與△AOB相似，設(shè)AB長(zhǎng)度為l，由三角形相似得：
$\frac{mg}{F}$=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{R}{l}$，
而l=2Rcos30°
即得：F=$\frac{mgl}{r}$=$\sqrt{3}$G
$\frac{N}{R}$=$\frac{mg}{R}$  
得：N=G
又由胡克定律有F=k（l-R），聯(lián)立上述各式可得：k=$\frac{\sqrt{3}G}{（\sqrt{3}-1）R}$．
答：（1）圓環(huán)對(duì)小球的作用力為G；
（2）彈簧的勁度系數(shù)為$\frac{\sqrt{3}G}{（\sqrt{3}-1）R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中非直角類型的物體的平衡問(wèn)題，采用數(shù)學(xué)上三角形相似法，將力的關(guān)系變成邊長(zhǎng)的關(guān)系．也可以運(yùn)用三角函數(shù)法求解．