Question

9．在某個半徑為R的行星表面，對于一個質(zhì)量為m的砝碼，用彈簧稱量，其重力的大小G．
（1）請計算該星球表面附近衛(wèi)星的環(huán)繞速度
（2）請計算該星球的平均密度．

Answer 1

分析 （1）求出行星表面重力加速度，再由牛頓第二定律，即可求解第一宇宙速度．
（2）根據(jù)星球表面重力與萬有引力相等，列式即可求出該行星的質(zhì)量；進一步求出密度．

解答 解：（1）行星表面的重力加速度：$g=\frac{G}{m}$
行星的近地衛(wèi)星重力提供向心力：$m′g=m′\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
衛(wèi)星的環(huán)繞速度  ${v}_{1}^{\;}=\sqrt{Rg}=\sqrt{\frac{GR}{m}}$
（2）由星球表面重力等于萬有引力：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$   
 又$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
所以密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3g}{4πGR}$
答：（1）該星球表面附近衛(wèi)星的環(huán)繞速度$\sqrt{\frac{GR}{m}}$
（2）該星球的平均密度$\frac{3g}{4πGR}$．

點評 本題的入手主要圍繞萬有引力等于星球表面重力，和萬有引力提供衛(wèi)星圓周運動向心力．掌握規(guī)律是正確解題的關(guān)鍵．