Question

6．如圖所示，豎直平面MN與紙面垂直，MN右側的空間存在著垂直紙面向內的勻強磁場和水平向左的勻強電場，MN左側的水平面光滑，右側的水平面粗糙．質量為m的物體A靜止在MN左側的水平面上，已知該物體帶負電，電荷量的大小為為q．一質量為$\frac{1}{3}m$的不帶電的物體B以速度v₀沖向物體A并發(fā)生彈性碰撞，碰撞前后物體A的電荷量保持不變．求：
（1）碰撞后物體A的速度大小v_A；
（2）若A與水平面的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度的大小為g，磁感應強度的大小為$B=\frac{3mg}{{q{v_0}}}$，電場強度的大小為$E=\frac{4μmg}{q}$．已知物體A從MN開始向右移動的距離為l時，速度增加到最大值．求：
a．此過程中物體A克服摩擦力所做的功W；
b．此過程所經(jīng)歷的時間t．

Answer 1

分析 （1）物體A、B是彈性碰撞，系統(tǒng)動量守恒、機械能也守恒，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律列式后聯(lián)立求解得到碰撞后物體A的速度大小v_A；
（2）滑塊A進入電磁場區(qū)域后，受向右的電場力、向下的洛侖茲力、重力、支持力和向左的滑動摩擦力，是變加速運動，當摩擦力與電場力平衡時速度最大；根據(jù)平衡條件列式求解最大速度，根據(jù)動能定理列式求解此過程中物體A克服摩擦力所做的功W；根據(jù)動量定理列式求解此過程所經(jīng)歷的時間t．

解答 解：（1）設A、B碰撞后的速度分別為v_A、v_B，由于A、B發(fā)生彈性碰撞，動量、動能均守恒，則有：$\frac{1}{3}m{v_0}=\frac{1}{3}m{v_B}+m{v_A}$              ①
$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}mv_0^2=\frac{1}{2}•\frac{1}{3}m{v_B}^2+\frac{1}{2}mv_A^2$     ②
聯(lián)立①②可得：
${v_A}=\frac{1}{2}{v_0}$                       ③
（2）a．A的速度達到最大值v_m時合力為零，受力如圖所示：

豎直方向合力為零，有：N=qv_mB+mg ④
水平方向合力為零，有：qE=μN      ⑤
根據(jù)動能定理，有：$qEl-W=\frac{1}{2}mv_m^2-\frac{1}{2}mv_A^2$            ⑥
聯(lián)立③④⑤⑥并代入相相關數(shù)據(jù)可得：$W=4μmgl-\frac{3}{8}mv_0^2$
b．方法一：
在此過程中，設A物體運動的平均速度為$\bar v$，根據(jù)動量定理有：
$qEt-μ\bar Nt=m{v_m}-m{v_A}$             ⑦
$\overline{N}=mg+q\bar vB$                     ⑧
依題意有：$\bar vt=l$                   ⑨
聯(lián)立③④⑤⑦⑧⑨并代入相關數(shù)據(jù)可得：
$t=\frac{l}{v_0}+\frac{v_0}{6μg}$
方法二：
設任意時刻A物體運動的速度為v，取一段含此時刻的極短時間△t，設此段時間內速度的改變量為△v，根據(jù)動量定理有：$\sum qE△t-\sum μ（mg+qvB）△t=\sum m△v$⑦
而$\sum v△t=l$                              ⑧
$\sum m△v=m{v_m}-m{v_A}$                        ⑨
聯(lián)立③④⑤⑦⑧⑨并代入相關數(shù)據(jù)可得：
$t=\sum△t=\frac{l}{v_0}+\frac{v_0}{6μg}$
答：（1）碰撞后物體A的速度大小v_A為$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（2）a．此過程中物體A克服摩擦力所做的功W為$4μmgl-\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$；
b．此過程所經(jīng)歷的時間t為$\frac{l}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{6μg}$．

點評 本題關鍵是明確兩個物體碰撞過程中系統(tǒng)動量守恒、機械能也守恒；滑塊A向右運動過程中是變加速運動，當摩擦力增加到等于電場力時，速度達到最大值，結合動能定理和動量定理列式分析．