Question

16．如圖所示，一根均質(zhì)繩質(zhì)量為M，其兩端固定在天花板上的A、B兩點(diǎn)，在繩的中點(diǎn)懸掛一重物，質(zhì)量為m，懸掛重物的繩PQ質(zhì)量不計(jì)．設(shè)α、β分別為繩子端點(diǎn)和中點(diǎn)處繩子的切線方向與豎直方向的夾角，則（　　）

• A． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{m+M}$
• B． $\frac{cosα}{cosβ}$=$\frac{m}{m+M}$
• C． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M}$
• D． $\frac{cosα}{cosβ}$=$\frac{m}{M}$

Answer 1

分析 先以整體為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件分析端點(diǎn)處對(duì)繩子的拉力與總重力的關(guān)系式；
再對(duì)左半邊繩子研究，得到端點(diǎn)和中點(diǎn)繩子的拉力的關(guān)系式；再采用比例法求解．

解答 解：設(shè)繩子端點(diǎn)處和中點(diǎn)處繩子張力大小分別為F₁、F₂．對(duì)整體研究，分析受力，如上圖所示，根據(jù)平衡條件得：F₁cosα=$\frac{1}{2}$（M+m）g…①，
對(duì)左半邊繩子研究得：
F₁cosα=F₂cosβ+$\frac{1}{2}$Mg…②，
F₁sinα=F₂sinβ…③，
由①②得到：F₂cosβ=$\frac{1}{2}$mg…④，
則由③：①得：tanα=$\frac{2F2sinβ}{（M+m）g}$…⑤，
由③：④得：tanβ=$\frac{{2{F_1}sinα}}{mg}$…⑥，
所以由③⑤⑥聯(lián)立得：$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$；
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題是力平衡問(wèn)題，難點(diǎn)存在如何選擇研究對(duì)象和如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)變形求解．
隔離法與整體法：
①整體法：以幾個(gè)物體構(gòu)成的整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象進(jìn)行求解．在許多問(wèn)題中用整體法比較方便，但整體法不能求解系統(tǒng)的內(nèi)力．
②隔離法：從系統(tǒng)中選取一部分（其中的一個(gè)物體或兩個(gè)物體組成的整體，少于系統(tǒng)內(nèi)物體的總個(gè)數(shù)）進(jìn)行分析．隔離法的原則是選取受力個(gè)數(shù)最少部分的來(lái)分析．
③通常在分析外力對(duì)系統(tǒng)作用時(shí)，用整體法；在分析系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用時(shí)，用隔離法．有時(shí)在解答一個(gè)問(wèn)題時(shí)要多次選取研究對(duì)象，需要整體法與隔離法交叉使用．