Question

4．長為L的輕繩一端固定，另一端系住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)在圓周最高點(diǎn)時(shí)，繩的張力為零，小球機(jī)械能為零．求：
（1）小球在最低點(diǎn)時(shí)的繩的張力；
（2）小球在最低點(diǎn)時(shí)的重力勢能．

Answer 1

分析 （1）在圓周最高點(diǎn)時(shí)，繩的張力為零，重力恰好提供向心力，求出最高點(diǎn)速度；小球運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律先求出最低點(diǎn)速度，然后根據(jù)拉力和重力的合力提供向心力得出最低點(diǎn)繩的張力．
（2）由機(jī)械能守恒定律求得小球在最低點(diǎn)時(shí)的重力勢能．

解答 解：（1）在最高點(diǎn)，繩的張力為零，應(yīng)有：
mg=$m\frac{v_0^2}{L}$，
所以有：v₀=$\sqrt{gL}$…①
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒：
 mg•2L=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}mv_0^2$…②
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：T-mg=$m\frac{v^2}{L}$…③
聯(lián)立可得：T=6mg．
（2）由①②式可求出小球在最低點(diǎn)的動(dòng)能：
 E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{5}{2}$mgL…④
由機(jī)械能守恒定律得，在最低點(diǎn)小球的機(jī)械能也為零：
E_p+E_k=0
故有：E_p=-E_k=$-\frac{5}{2}$mgL．
答：（1）小球在最低點(diǎn)時(shí)繩的張力是6mg；（2）小球在最低點(diǎn)時(shí)的重力勢能是$-\frac{5}{2}$mgL．

點(diǎn)評(píng) 本題的切入點(diǎn)在于小球恰好通過最高點(diǎn)，關(guān)鍵是對(duì)運(yùn)動(dòng)過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律以及合力提供向心力列式分析求解．