Question

3．如圖所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強磁場，磁感應(yīng)強度B的方向垂直該豎直平面向里．豎直平面中a、b兩點在同一水平線上，兩點相距l(xiāng)．帶電量 q＞0，質(zhì)量為m的小球P，以初速度v從a對準(zhǔn)b射入磁場．略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q、m 和B均為不變的給定量． 
（1）若無論 l 取什么值，均可使P 經(jīng)直線運動通過b 點，試問v應(yīng)取什么值？
（2）若v為（1）問可取值之外的任意值，則 l可取哪些值，可使P必定會經(jīng)曲線運動通過b點？
（3）對每一個滿足（2）問要求的l值，計算各種可能的曲線運動對應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時間．
（4）對每一個滿足（2）問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點？若能，再求P在以后運動過程中可達到的最大運動速率v_max．

Answer 1

分析 （1）小球受重力和洛侖茲力，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）（3）設(shè)第一問的速度為v₁，將速度v分解為v₁和另一個速度v₂，則以v₁向右做勻速直線運動的同時，以速度v₂做勻速圓周運動，實際運動是兩個分運動的合運動；故通過b點時，圓周運動是整數(shù)圈數(shù)；
（4）初速度為零，分解為一對相反的水平速度，大小等于第一問的速度值即可．

解答 解：（1）小球受重力和洛侖茲力，做直線運動，合力如果不為零，與速度不共線，矛盾，故小球做勻速直線運動，故：
mg=qvB
解得：
v=$\frac{mg}{qB}$
（2）如果速度不等于$\frac{mg}{qB}$，則洛侖茲力不等于重力，做曲線運動；
將速度v分解為向右的速度v₁=$\frac{mg}{qB}$和水平速度v₂=|v-$\frac{mg}{qB}$|，故小球的實際運動是以v₁向右做勻速直線運動和以速度v₂做勻速圓周運動的合運動；
運動時間為：t=$\frac{l}{{v}_{1}}=\frac{lqB}{mg}$；
粒子的圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，故：
t=nT
聯(lián)立解得：
l=$\frac{{2πn{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$   （其中n=1、2、3、…）
（3）由第二問分析可知：t=nT=$\frac{2πnm}{qB}$  （其中n=1、2、3、…）
（4）初速度為零，分解為一對相反的水平速度，分速度大小均為$\frac{mg}{qB}$；
故水平分運動的位移為l的運動時間為：t=$\frac{l}{{v}_{1}}$=$\frac{2πn•m}{qB}$（其中n=1、2、3、…）
小球的圓周運動（分運動）的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
故t=nT
故小球也可以通過b點；
當(dāng)兩個分運動的速度相同時，速度最大，故：
v_max=2v₁=$\frac{2mg}{qB}$
答：（1）若無論 l 取什么值，均可使P 經(jīng)直線運動通過b 點，問v應(yīng)為$\frac{mg}{qB}$；
（2）若v為（1）問可取值之外的任意值，則當(dāng)l=$\frac{{2πn{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$ （其中n=1、2、3、…）時，可使P必定會經(jīng)曲線運動通過b點；
（3）對每一個滿足（2）問要求的l值，各種可能的曲線運動對應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時間均為$\frac{2πnm}{qB}$ （其中n=1、2、3、…）．
（4）對每一個滿足（2）問要求的l值，P能從a靜止釋放后通過b點，P在以后運動過程中可達到的最大運動速率v_max為$\frac{2mg}{qB}$．

點評 本題思路冷僻，關(guān)鍵是將合運動分解為一個勻速直線運動和一個勻速圓周運動進行分析，故只要能夠到達b點，時間都是相等的，不難．