Question

3．如圖所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直該豎直平面向里．豎直平面中a、b兩點(diǎn)在同一水平線上，兩點(diǎn)相距l(xiāng)．帶電量 q＞0，質(zhì)量為m的小球P，以初速度v從a對(duì)準(zhǔn)b射入磁場(chǎng)．略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q、m 和B均為不變的給定量． 
（1）若無論 l 取什么值，均可使P 經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b 點(diǎn)，試問v應(yīng)取什么值？
（2）若v為（1）問可取值之外的任意值，則 l可取哪些值，可使P必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)？
（3）對(duì)每一個(gè)滿足（2）問要求的l值，計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時(shí)間．
（4）對(duì)每一個(gè)滿足（2）問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點(diǎn)？若能，再求P在以后運(yùn)動(dòng)過程中可達(dá)到的最大運(yùn)動(dòng)速率v_max．

Answer 1

分析 （1）小球受重力和洛侖茲力，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）（3）設(shè)第一問的速度為v₁，將速度v分解為v₁和另一個(gè)速度v₂，則以v₁向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，以速度v₂做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，實(shí)際運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)；故通過b點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)是整數(shù)圈數(shù)；
（4）初速度為零，分解為一對(duì)相反的水平速度，大小等于第一問的速度值即可．

解答 解：（1）小球受重力和洛侖茲力，做直線運(yùn)動(dòng)，合力如果不為零，與速度不共線，矛盾，故小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故：
mg=qvB
解得：
v=$\frac{mg}{qB}$
（2）如果速度不等于$\frac{mg}{qB}$，則洛侖茲力不等于重力，做曲線運(yùn)動(dòng)；
將速度v分解為向右的速度v₁=$\frac{mg}{qB}$和水平速度v₂=|v-$\frac{mg}{qB}$|，故小球的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是以v₁向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度v₂做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)；
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{l}{{v}_{1}}=\frac{lqB}{mg}$；
粒子的圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，故：
t=nT
聯(lián)立解得：
l=$\frac{{2πn{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$   （其中n=1、2、3、…）
（3）由第二問分析可知：t=nT=$\frac{2πnm}{qB}$  （其中n=1、2、3、…）
（4）初速度為零，分解為一對(duì)相反的水平速度，分速度大小均為$\frac{mg}{qB}$；
故水平分運(yùn)動(dòng)的位移為l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{l}{{v}_{1}}$=$\frac{2πn•m}{qB}$（其中n=1、2、3、…）
小球的圓周運(yùn)動(dòng)（分運(yùn)動(dòng)）的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
故t=nT
故小球也可以通過b點(diǎn)；
當(dāng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度相同時(shí)，速度最大，故：
v_max=2v₁=$\frac{2mg}{qB}$
答：（1）若無論 l 取什么值，均可使P 經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b 點(diǎn)，問v應(yīng)為$\frac{mg}{qB}$；
（2）若v為（1）問可取值之外的任意值，則當(dāng)l=$\frac{{2πn{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$ （其中n=1、2、3、…）時(shí)，可使P必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)；
（3）對(duì)每一個(gè)滿足（2）問要求的l值，各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時(shí)間均為$\frac{2πnm}{qB}$ （其中n=1、2、3、…）．
（4）對(duì)每一個(gè)滿足（2）問要求的l值，P能從a靜止釋放后通過b點(diǎn)，P在以后運(yùn)動(dòng)過程中可達(dá)到的最大運(yùn)動(dòng)速率v_max為$\frac{2mg}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題思路冷僻，關(guān)鍵是將合運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，故只要能夠到達(dá)b點(diǎn)，時(shí)間都是相等的，不難．