Question

4．如圖所示，在0≤x≤a、0≤y≤$\frac{a}{2}$范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)，已知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于$\frac{a}{2}$到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一，求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的速度的大小及方向？

Answer 1

分析 最后離開磁場的粒子在磁場中運動的時間最長，故其軌跡圓弧對應的圓心角最大；畫出臨界軌跡，確定軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解其速度的大小及方向．

解答 解：設粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得
R=$\frac{mv}{qB}$
當

a

2

＜R＜a時，在磁場中運動的時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切，如圖所示，設該粒子在磁場中運動的時間為t，依題意，t=$\frac{T}{4}$，回旋角度為∠OCA=$\frac{π}{2}$
設最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關系得：
Rsinα=R-$\frac{α}{2}$，Rsinα=a-Rcosα，且sin²α+cos²α=1
解得：
R=（2-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）a，v=（2-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）$\frac{aqB}{m}$，sinα=$\frac{6-\sqrt{10}}{6}$
故最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的速度大小為：
v=（2-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）$\frac{aqB}{m}$
最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的速度方向與y軸正方向夾角的正弦為：
sinα=$\frac{6-\sqrt{6}}{10}$
故α=20.8°
答：最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的速度的大小為（2-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）$\frac{aqB}{m}$，方向與y軸正方向夾角為20.8°．

點評 本題關鍵是找出粒子的運動軌跡的臨界情況圖，注意軌跡對應的弦長越長，圓心角越大，運動的時間越長．