Question

7．圖中坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）處有一帶電粒子源，向y≥0一側(cè)沿Oxy平面內(nèi)的各個不同方向發(fā)射帶正電的粒子，粒子的速率都是v，質(zhì)量均為m，電荷量均為q．有人設(shè)計(jì)了一方向垂直于Oxy平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B的均勻磁場區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該磁場區(qū)域的邊界射出時(shí)，均能沿x軸正方向運(yùn)動．試求出此邊界線的方程，并畫出此邊界線的示意圖．

Answer 1

分析 設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向垂直xy平面向里，且無邊界，考察從粒子源發(fā)出的速率為v、方向與x軸夾角為θ的粒子，在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動，得到其軌跡半徑R，由數(shù)學(xué)方法得到邊界線的方程，再研究磁場方向垂直xy平面向外的情況，由數(shù)學(xué)知識得到參數(shù)方程．

解答 解：設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向垂直xy平面向里，且無邊界，考察從粒子源發(fā)出的速率為v、方向與x軸夾角為θ的粒子，在磁場的洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，圓軌道經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與速度方向相切，若圓軌道的為R，則有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得 R=$\frac{mv}{qB}$
圓軌道的圓心O′在過坐標(biāo)原點(diǎn)O與速度方向垂直的連線上，至原點(diǎn)的距離為R，如圖1所示，通過圓心O′，作平行于y軸的直線與圓軌道交于P點(diǎn)，粒子運(yùn)動到P點(diǎn)時(shí)其速度方向恰好是沿x軸正方向，故P點(diǎn)就在磁場區(qū)域的邊界上．對于不同入射方向的粒子，對應(yīng)的P點(diǎn)的位置不同，所有這些P點(diǎn)的連線就是所求磁場區(qū)域的邊界線，P點(diǎn)的坐標(biāo)為
  x=-Rsinθ
  y=-R+Rcosθ
這就是磁場區(qū)域邊界的參數(shù)方程，消去參數(shù)θ，得
  x²+（y+R）²=R²；
將R=$\frac{mv}{qB}$代入上式得：x²+（y+$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$
這是半徑為R圓心O″的坐標(biāo)為（0，-R）的圓，作為該題要求的磁場區(qū)域的邊界線，應(yīng)是如圖2所示的半個圓周，故磁場區(qū)域的邊界線的方程為：
 
x²+（y+$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$，x≤0，y≤0
若磁場方向垂直于xy平面向外，則磁場的邊界線為如圖3的半圓，磁場區(qū)域的邊界線的方程為 
  x²+（y-R）²=R²，x≥0，y≥0
即x²+（y-$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$，x≥0，y≥0．

答：若磁場方向垂直于xy平面向里，磁場的邊界線為如圖2的半圓，磁場區(qū)域的邊界線的方程為 x²+（y+$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$，x≤0，y≤0．
若磁場方向垂直于xy平面向外，磁場的邊界線為如圖3的半圓，磁場區(qū)域的邊界線的方程為 x²+（y-$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$，x≥0，y≥0．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動，關(guān)鍵要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析邊界線的形狀，分析邊界線的參數(shù)方程，要有運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．